以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 2}{x - 1}$ (2) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - 3x - 10}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{\sqrt{1 + x} - 1}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 2}{x - 1}$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - 3x - 10}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{\sqrt{1 + x} - 1}$

2. 解き方の手順

(1)

分子を因数分解します。

$2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x - 1)(x + 1)$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} 2(x + 1) = 2(1 + 1) = 4$

(2)

分子と分母を因数分解します。

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

したがって、

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - 3x - 10} = \lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x + 2)(x - 5)} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 5} = \frac{(-2)^2 - 2(-2) + 4}{-2 - 5} = \frac{4 + 4 + 4}{-7} = \frac{12}{-7} = -\frac{12}{7}$

(3)

分子と分母をそれぞれ有理化します。

$\sqrt{1 + 2x} - 1 = (\sqrt{1 + 2x} - 1) \frac{\sqrt{1 + 2x} + 1}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = \frac{(1 + 2x) - 1}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = \frac{2x}{\sqrt{1 + 2x} + 1}$

$\sqrt{1 + x} - 1 = (\sqrt{1 + x} - 1) \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{(1 + x) - 1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{x}{\sqrt{1 + x} + 1}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{\sqrt{1 + x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{\sqrt{1 + 2x} + 1}}{\frac{x}{\sqrt{1 + x} + 1}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 2 \cdot \frac{\sqrt{1 + 0} + 1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = 2 \cdot \frac{1 + 1}{1 + 1} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) -12/7

(3) 2