与えられた極限を計算する問題です。 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(k+n)^2(k+2n)}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(k+n)^2(k+2n)}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式をリーマン和の形に変形します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(k+n)^2(k+2n)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{n^2 (1 + \frac{k}{n})^2 n (2 + \frac{k}{n})}$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2 (2 + \frac{k}{n})}$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$ とおくと、$k = 1, 2, \dots, n$ に対して $0 \le x_k \le 1$ となります。

$n \to \infty$ のとき、これは積分で表現できます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2 (2 + \frac{k}{n})} = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2(2+x)} dx$

次に、この積分を計算します。部分分数分解を行うことを考えます。

$\frac{1}{(1+x)^2(2+x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{(1+x)^2} + \frac{C}{2+x}$

両辺に $(1+x)^2(2+x)$ をかけて整理すると、

$1 = A(1+x)(2+x) + B(2+x) + C(1+x)^2$

$1 = A(x^2 + 3x + 2) + B(2+x) + C(x^2 + 2x + 1)$

$1 = (A+C)x^2 + (3A+B+2C)x + (2A+2B+C)$

係数を比較して、

$A+C = 0$

$3A+B+2C = 0$

$2A+2B+C = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$C = -A$

$3A+B-2A = 0 \Rightarrow A+B = 0 \Rightarrow B = -A$

$2A-2A-A = 1 \Rightarrow -A = 1 \Rightarrow A = -1$

よって、 $B = 1$ , $C = 1$ となります。

$\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2(2+x)} dx = \int_0^1 \left( -\frac{1}{1+x} + \frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{2+x} \right) dx$

$= \left[ -\ln(1+x) - \frac{1}{1+x} + \ln(2+x) \right]_0^1$

$= \left[ \ln \left( \frac{2+x}{1+x} \right) - \frac{1}{1+x} \right]_0^1$

$= \left( \ln \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \right) - \left( \ln 2 - 1 \right)$

$= \ln \frac{3}{2} - \ln 2 - \frac{1}{2} + 1 = \ln \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\ln \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$