さいころを繰り返し振り、出た目の数を使って数列 $X_n$ を定義します。$X_1$ は出た目の数で 17 を割った余り、$X_{n+1}$ は出た目の数で $X_n$ を割った余りです。ただし、1 で割った余りは 0 とします。 (1) $X_3 = 0$ となる確率を求めます。 (2) 各 $n$ に対し、$X_n = 5$ となる確率を求めます。 (3) 各 $n$ に対し、$X_n = 1$ となる確率を求めます。

1. 問題の内容

さいころを繰り返し振り、出た目の数を使って数列 $X_n$ を定義します。$X_1$ は出た目の数で 17 を割った余り、$X_{n+1}$ は出た目の数で $X_n$ を割った余りです。ただし、1 で割った余りは 0 とします。

(1) $X_3 = 0$ となる確率を求めます。

(2) 各 $n$ に対し、$X_n = 5$ となる確率を求めます。

(3) 各 $n$ に対し、$X_n = 1$ となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $X_3=0$ となる確率を求める

$X_3 = 0$ となるためには、直前の $X_2$ が 1, 2, 3, 4, 5, 6 のいずれかである必要があり、かつ $X_2$ を割る数（3回目のサイコロの出目）が $X_2$ と一致する必要があります。

$X_1$ はサイコロの出目（1 から 6）を 17 で割った余りなので、$X_1$ はサイコロの出目そのものです。

同様に、$X_2$ はサイコロの出目で $X_1$ を割った余り、$X_3$ はサイコロの出目で $X_2$ を割った余りです。

まず、$X_3 = 0$ となるためには、$X_2$ が 1 から 6 のいずれかであり、3回目のサイコロの目が $X_2$ と一致する必要があります。

$X_2 = k$ (1 ≤ k ≤ 6) となる確率を $P(X_2 = k)$ とすると、$X_3 = 0$ となる確率は $P(X_3 = 0) = \sum_{k=1}^{6} P(X_2 = k \text{ and 3回目のサイコロの目が } k)$ です。

$P(X_2 = k \text{ and 3回目のサイコロの目が } k) = P(X_2 = k) \times \frac{1}{6}$ となるので、$P(X_3=0) = \sum_{k=1}^{6} P(X_2 = k) \times \frac{1}{6}$ が成立します。

$P(X_2=k) = \sum_{l=k}^{6} P(X_1 = l \text{ and 2回目のサイコロの目は } \lfloor l/k \rfloor * k)$　　

$P(X_2=k) = P(X_1=k) * (1/6) + P(X_1=2k) * (1/6) + P(X_1=3k) * (1/6) + ...$

$X_1$ が 1 から 6 である確率はいずれも $1/6$ であるから、$P(X_2=k)$ を求める。

$P(X_2=1) = (1/6) * 1 + (1/6) * 1 + (1/6) * 1 + (1/6) * 1 + (1/6) * 1 + (1/6) * 1 = 1/6$

$P(X_2=2) = (1/6) * 0 + (1/6) * 1 + (1/6) * 0 + (1/6) * 1 + (1/6) * 0 + (1/6) * 1 = 1/2$

$P(X_2=3) = (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 1 + (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 1 = 1/3$

$P(X_2=4) = (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 1 + (1/6) * 0 + (1/6) * 0 = 1/4$

$P(X_2=5) = (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 1 + (1/6) * 0 = 1/5$

$P(X_2=6) = (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 0 + (1/6) * 1 = 1/6$

$P(X_3 = 0) = (1/6) * (1/6) + (1/6) * (1/2) + (1/6) * (1/3) + (1/6) * (1/4) + (1/6) * (1/5) + (1/6) * (1/6) = (1/36) * (6+3+2+1.5+1.2+1)$

$P(X_3 = 0) = \frac{1}{36} (\frac{180+90+60+45+36+30}{30})$

$P(X_3 = 0) = \frac{441}{36*30} = \frac{441}{1080} = \frac{49}{120}$

(2) $X_n = 5$ となる確率を求める

$X_n = 5$ となるためには、その直前の $X_{n-1}$ が 5 より大きい必要があります。したがって、$X_{n-1}$ は 5 で割る必要があります。サイコロの出目は 1 から 6 なので、次のようになります。

$P(X_n=5) = P(X_{n-1} \ge 5) \times \frac{1}{6}$

$X_{n-1} = 5$ のとき、出目が 1 のとき、$X_n = 0$ となります。これは $X_n = 5$ ではありません。

$X_{n-1} = 6$ のとき、出目が 1 のとき、$X_n = 5$ となります。

(3) $X_n = 1$ となる確率を求める

$X_n = 1$ となるためには、その直前の $X_{n-1}$ が 1 より大きい必要があります。したがって、$X_{n-1}$ は $k$ で割った余りが 1 になる必要があります。

$X_{n-1} = k$ の時、$X_n=1$ になる確率 = $P(サイコロの出目が k-1)$

3. 最終的な答え

(1) $X_3 = 0$ となる確率は $\frac{49}{120}$ です。

(2) $X_n = 5$ となる確率は $P(X_{n-1} \ge 5) \times \frac{1}{6}$ です。

(3) $X_n = 1$ となる確率は、$X_{n-1}=k$の時、$P(サイコロの出目が k-1)$ です。