与えられた関数 $f(x)$ を部分分数分解する問題です。関数は以下の通りです。 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2(x+2)}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を部分分数分解する問題です。関数は以下の通りです。

$f(x) = \frac{1}{(1+x)^2(x+2)}$

2. 解き方の手順

部分分数分解を行うために、次の形を仮定します。

$\frac{1}{(1+x)^2(x+2)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{(1+x)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(1+x)^2(x+2)$ を掛けると、

$1 = A(1+x)(x+2) + B(x+2) + C(1+x)^2$

$1 = A(x^2 + 3x + 2) + B(x+2) + C(x^2 + 2x + 1)$

$1 = Ax^2 + 3Ax + 2A + Bx + 2B + Cx^2 + 2Cx + C$

係数を比較します。

$x^2$ の係数: $A + C = 0$

$x$ の係数: $3A + B + 2C = 0$

定数項: $2A + 2B + C = 1$

$A + C = 0$ より $C = -A$

$3A + B + 2(-A) = 0$ より $A + B = 0$ よって $B = -A$

$2A + 2(-A) + (-A) = 1$ より $-A = 1$ よって $A = -1$

したがって、 $A = -1$, $B = 1$, $C = 1$

よって、

$\frac{1}{(1+x)^2(x+2)} = \frac{-1}{1+x} + \frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{x+2}$

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{1}{1+x} + \frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{x+2}$

あるいは

$f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}$