以下の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 1} \frac{x}{(x-1)^2}$ (2) $\lim_{x\to -2} \frac{x}{(x+2)^2}$ (3) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{x}{(x-1)^2}$

(2) $\lim_{x\to -2} \frac{x}{(x+2)^2}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{x}{(x-1)^2}$ について:

$x$が1に近づくとき、分子は1に近づき、分母は0に近づきます。また、$(x-1)^2$は常に正であるため、分母は正の方向から0に近づきます。よって、この極限は正の無限大に発散します。

(2) $\lim_{x\to -2} \frac{x}{(x+2)^2}$ について:

$x$が-2に近づくとき、分子は-2に近づき、分母は0に近づきます。また、$(x+2)^2$は常に正であるため、分母は正の方向から0に近づきます。よって、この極限は負の無限大に発散します。

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1}$ について:

このままでは不定形 $\frac{0}{0}$ となるため、分子と分母を有理化します。

まず分子を有理化します。

$x-\sqrt{1+x} = \frac{(x-\sqrt{1+x})(x+\sqrt{1+x})}{x+\sqrt{1+x}} = \frac{x^2-(1+x)}{x+\sqrt{1+x}} = \frac{x^2-x-1}{x+\sqrt{1+x}}$

次に分母を有理化します。

$\sqrt{1+x^2}-1 = \frac{(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{\sqrt{1+x^2}+1} = \frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}+1} = \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}$

したがって、

$\frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1} = \frac{\frac{x^2-x-1}{x+\sqrt{1+x}}}{\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}} = \frac{(x^2-x-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2(x+\sqrt{1+x})}$

この式で$x$を0に近づけると、

$\lim_{x\to 0} \frac{(x^2-x-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2(x+\sqrt{1+x})} = \lim_{x\to 0} \frac{(-1)(1+1)}{x^2(0+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{-2}{x^2}$

$x$が0に近づくとき、$x^2$は正の方向から0に近づくので、$\frac{-2}{x^2}$は負の無限大に発散します。

2つ目の解き方：

分子を有理化：

$\frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1} = \frac{(x-\sqrt{1+x})(x+\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1+x^2}-1)(x+\sqrt{1+x})} = \frac{x^2-1-x}{(\sqrt{1+x^2}-1)(x+\sqrt{1+x})}$

$=\frac{x^2-x-1}{(\sqrt{1+x^2}-1)(x+\sqrt{1+x})}$

分母を有理化：

$=\frac{(x^2-x-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{((1+x^2)-1)(x+\sqrt{1+x})} = \frac{(x^2-x-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2(x+\sqrt{1+x})}$

$x \to 0$のとき、$\frac{(-1)(1+1)}{0^2(0+1)} = \frac{-2}{0}$ となるので、発散。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{x}{(x-1)^2} = \infty$

(2) $\lim_{x\to -2} \frac{x}{(x+2)^2} = -\infty$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1} = -\infty$