与えられた二次関数 $y = 2(x-1)(x-2)$ の $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = 2(x-1)(x-2)$ の $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を展開します。

$y = 2(x-1)(x-2) = 2(x^2 - 3x + 2) = 2x^2 - 6x + 4$

次に、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

$y = 2(x^2 - 3x) + 4 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2\cdot \frac{9}{4} + 4 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + \frac{8}{2} = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ です。

定義域は $0 \le x \le 2$ なので、頂点を含みます。

$x = 0, \frac{3}{2}, 2$ における $y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 6(0) + 4 = 4$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{2}\right) + 4 = 2\left(\frac{9}{4}\right) - 9 + 4 = \frac{9}{2} - 5 = \frac{9}{2} - \frac{10}{2} = -\frac{1}{2}$

$x = 2$ のとき、$y = 2(2)^2 - 6(2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$

よって、最大値は $4$ ($x=0$ のとき), 最小値は $-\frac{1}{2}$ ($x = \frac{3}{2}$ のとき)です。

3. 最終的な答え

最大値：4

最小値：$-\frac{1}{2}$