$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、以下の問題を解く。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $a^2 + ab$ と $a^2 + 4ab + 4b^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、以下の問題を解く。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $a^2 + ab$ と $a^2 + 4ab + 4b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ を有理化する。

$\frac{2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{2} = \sqrt{6}+2$

$\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$ より、$2 < \sqrt{6} < 3$ である。

したがって、$4 < \sqrt{6} + 2 < 5$ である。

よって、整数部分 $a = 4$ である。

小数部分 $b = (\sqrt{6}+2) - 4 = \sqrt{6} - 2$ である。

(2) $a^2 + ab$ の値を求める。

$a^2 + ab = a(a+b) = 4(4 + \sqrt{6} - 2) = 4(2 + \sqrt{6}) = 8 + 4\sqrt{6}$

$a^2 + 4ab + 4b^2$ の値を求める。

$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2 = (4 + 2(\sqrt{6} - 2))^2 = (4 + 2\sqrt{6} - 4)^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = \sqrt{6} - 2$

(2) $a^2 + ab = 8 + 4\sqrt{6}$, $a^2 + 4ab + 4b^2 = 24$