問題文は、「任意の実数 $x$ に対して $|x| - |y| \geq 0$ が成り立つ」という条件が、$y=0$ であるための何条件かを問うています。選択肢は、必要条件、十分条件、必要十分条件、どれでもない、の4つです。

1. 問題の内容

問題文は、「任意の実数 $x$ に対して $|x| - |y| \geq 0$ が成り立つ」という条件が、$y=0$ であるための何条件かを問うています。選択肢は、必要条件、十分条件、必要十分条件、どれでもない、の4つです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を整理します。

「任意の実数 $x$ に対して $|x| - |y| \geq 0$ が成り立つ」とは、「任意の実数 $x$ に対して $|x| \geq |y|$ が成り立つ」と言い換えられます。

これは、任意の $x$ に対して $|x|$ が $|y|$ より大きいか等しいことを意味します。

$y$ が特定の値を取る場合、すべての $x$ について $|x| \geq |y|$ が成立するためには、$|y|$ は $0$ でなければなりません。なぜなら、$|y|$ が $0$ より大きい値を持つと、$|x|$ がそれより小さい $x$ が存在してしまうからです。

したがって、$|y|=0$ であり、$y=0$ であることが導かれます。

次に、$y=0$ が成り立つならば、任意の $x$ に対して $|x| - |0| \geq 0$ が成り立つかどうかを考えます。$|0| = 0$ なので、$|x| - 0 \geq 0$、つまり $|x| \geq 0$ が成り立ちます。これは常に成り立つので、$y=0$ ならば、任意の $x$ に対して $|x| - |y| \geq 0$ は成り立ちます。

したがって、「任意の実数 $x$ に対して $|x| - |y| \geq 0$ が成り立つ」ことと「$y=0$」であることは同値です。

3. 最終的な答え

必要十分条件