底辺の長さと高さの和が 8 cm である三角形において、底辺の長さを $x$ cm とするとき、三角形の面積が最大となる $x$ の値と、そのときの面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

底辺の長さと高さの和が 8 cm である三角形において、底辺の長さを $x$ cm とするとき、三角形の面積が最大となる $x$ の値と、そのときの面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

三角形の高さを $h$ cm とすると、$x + h = 8$ より、$h = 8 - x$ と表せる。

三角形の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times x \times h = \frac{1}{2} x (8 - x) = \frac{1}{2} (8x - x^2) = - \frac{1}{2} x^2 + 4x$

$S$ を最大にする $x$ を求めるために、平方完成する。

$S = - \frac{1}{2} (x^2 - 8x) = - \frac{1}{2} ((x - 4)^2 - 16) = - \frac{1}{2} (x - 4)^2 + 8$

したがって、$S$ は $x = 4$ のときに最大値 $8$ をとる。

$0 < x < 8$ であることも確認する。

3. 最終的な答え

$x = 4$ のとき、面積は最大値 $8$ cm$^2$ をとる。