次の確率を求めます。 4. $X \sim N(0,1)$ のとき、 $P(1.65 \le X < 1.96)$ 5. $X \sim N(1,0.25)$ のとき、$P(X \ge 1.5)$ 6. $X \sim N(-1,4)$ のとき、$P(-2 < X < 0)$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の確率を求めます。

4. $X \sim N(0,1)$ のとき、 $P(1.65 \le X < 1.96)$

5. $X \sim N(1,0.25)$ のとき、$P(X \ge 1.5)$

6. $X \sim N(-1,4)$ のとき、$P(-2 < X < 0)$

2. 解き方の手順

4. $X \sim N(0,1)$ のとき、$P(1.65 \le X < 1.96)$

$P(1.65 \le X < 1.96) = P(X < 1.96) - P(X < 1.65)$

標準正規分布表を用いて、それぞれの確率を求めます。

$P(X < 1.96) = 0.9750$

$P(X < 1.65) = 0.9505$

したがって、$P(1.65 \le X < 1.96) = 0.9750 - 0.9505 = 0.0245$

5. $X \sim N(1,0.25)$ のとき、$P(X \ge 1.5)$

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ を用いて標準化します。

$\mu = 1$, $\sigma^2 = 0.25$, $\sigma = \sqrt{0.25} = 0.5$

$Z = \frac{1.5 - 1}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1$

$P(X \ge 1.5) = P(Z \ge 1) = 1 - P(Z < 1)$

標準正規分布表より、$P(Z < 1) = 0.8413$

したがって、$P(X \ge 1.5) = 1 - 0.8413 = 0.1587$

6. $X \sim N(-1,4)$ のとき、$P(-2 < X < 0)$

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ を用いて標準化します。

$\mu = -1$, $\sigma^2 = 4$, $\sigma = \sqrt{4} = 2$

$Z_1 = \frac{-2 - (-1)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

$Z_2 = \frac{0 - (-1)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$P(-2 < X < 0) = P(-0.5 < Z < 0.5) = P(Z < 0.5) - P(Z < -0.5)$

標準正規分布表より、$P(Z < 0.5) = 0.6915$

$P(Z < -0.5) = 1 - P(Z < 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$

$P(-0.5 < Z < 0.5) = 0.6915 - 0.3085 = 0.3830$

3. 最終的な答え

4.

0. 0245

5.

0. 1587

6.

0. 3830