与えられた3つの2次関数について、指定された条件を満たすように定数 $k$ の範囲を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 3x + k$ がx軸と2点で交わる (2) $y = 4x^2 - 2kx + 9$ がx軸と接する (3) $y = kx^2 + x - 1$ がx軸と共有点を持たない

1. 問題の内容

与えられた3つの2次関数について、指定された条件を満たすように定数 $k$ の範囲を求める問題です。

(1) $y = x^2 + 3x + k$ がx軸と2点で交わる

(2) $y = 4x^2 - 2kx + 9$ がx軸と接する

(3) $y = kx^2 + x - 1$ がx軸と共有点を持たない

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ とx軸との交点の数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって決まります。

(1) 2次関数 $y = x^2 + 3x + k$ がx軸と2点で交わるためには、$D > 0$ である必要があります。

$D = 3^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k > 0$

$4k < 9$

$k < \frac{9}{4}$

(2) 2次関数 $y = 4x^2 - 2kx + 9$ がx軸と接するためには、$D = 0$ である必要があります。

$D = (-2k)^2 - 4(4)(9) = 4k^2 - 144 = 0$

$4k^2 = 144$

$k^2 = 36$

$k = \pm 6$

(3) 2次関数 $y = kx^2 + x - 1$ がx軸と共有点を持たないためには、$D < 0$ であり、$k \neq 0$ である必要があります。

ただし、$k=0$の場合、$y = x-1$となり、x軸と共有点を持つので、$k=0$は除外します。

$D = 1^2 - 4(k)(-1) = 1 + 4k < 0$

$4k < -1$

$k < -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $k < \frac{9}{4}$

(2) $k = \pm 6$

(3) $k < -\frac{1}{4}$