2次関数 $y = x^2 + 2x + (m+2)$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x + (m+2)$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と共有点を持たない条件は、2次方程式 $x^2 + 2x + (m+2) = 0$ が実数解を持たないことである。

これは、判別式 $D$ が $D < 0$ となることと同値である。

判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$

である。ここで、$a=1$, $b=2$, $c = m+2$ なので、

$D = 2^2 - 4(1)(m+2) = 4 - 4(m+2) = 4 - 4m - 8 = -4m - 4$

$D < 0$ より、

$-4m - 4 < 0$

$-4m < 4$

$m > -1$

3. 最終的な答え

$m > -1$