次の3つの二次関数のグラフと $x$ 軸との共有点を調べ、共有点を持つ場合はその $x$ 座標を求めます。 (1) $y = 2x^2 + 5x + 1$ (2) $y = 3x^2 - 7x + 5$ (3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

1. 問題の内容

次の3つの二次関数のグラフと $x$ 軸との共有点を調べ、共有点を持つ場合はその $x$ 座標を求めます。

(1) $y = 2x^2 + 5x + 1$

(2) $y = 3x^2 - 7x + 5$

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

2. 解き方の手順

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ と $x$ 軸との共有点を求めるには、$y = 0$ とおいて得られる二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の実数解を求めれば良いです。実数解の個数は判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号によって決まります。

- $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持ち、共有点は2つあります。

- $D = 0$ のとき、重解を持ち、共有点は1つあります。

- $D < 0$ のとき、実数解を持たず、共有点はありません。

(1) $y = 2x^2 + 5x + 1$ の場合

$2x^2 + 5x + 1 = 0$ の判別式 $D_1$ は

$D_1 = 5^2 - 4(2)(1) = 25 - 8 = 17 > 0$

よって、異なる2つの実数解を持ち、共有点は2つあります。

解の公式より、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2(2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

したがって、$x$ 座標は $\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$ と $\frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$ です。

(2) $y = 3x^2 - 7x + 5$ の場合

$3x^2 - 7x + 5 = 0$ の判別式 $D_2$ は

$D_2 = (-7)^2 - 4(3)(5) = 49 - 60 = -11 < 0$

よって、実数解を持たず、共有点はありません。

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$ の場合

$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 = 0$

$x^2 - 4x + 6 = 0$ の判別式 $D_3$ は

$D_3 = (-4)^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8 < 0$

よって、実数解を持たず、共有点はありません。

3. 最終的な答え

(1) 共有点は2つあり、$x$ 座標は $\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$ と $\frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$。

(2) 共有点はありません。

(3) 共有点はありません。