与えられた式 $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開し、整理した結果を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開し、整理した結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

式 $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開します。

まず、$(x+y-z)$ を分配法則に従って $(x-y+z)$ の各項にかけます。

$x(x-y+z) + y(x-y+z) -z(x-y+z)$

次に、各項を展開します。

$x^2 -xy +xz + yx -y^2 +yz -zx +zy -z^2$

ここで、同じ項をまとめます。$-xy$ と $yx$ は打ち消しあい、$xz$ と $-zx$ も打ち消しあいます。$yz$ と $zy$ は同じです。

$x^2 - y^2 - z^2 + 2yz$

これを並び替えます。

$x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)$

ここで、$y^2 - 2yz + z^2 = (y-z)^2$ であることを利用します。

$x^2 - (y-z)^2$

この式は、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形なので、因数分解できます。

$(x+(y-z))(x-(y-z))$

$(x+y-z)(x-y+z)$

よって、展開された式は $x^2 - y^2 - z^2 + 2yz = x^2 - (y-z)^2$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2 - y^2 - z^2 + 2yz = x^2 - (y-z)^2$