与えられた8つの2次不等式をそれぞれ解きます。 (1) $x^2 + 4x + 3 \ge 0$ (2) $x^2 - 2x - 1 < 0$ (3) $x^2 - 6x + 9 > 0$ (4) $4x^2 - 12x + 9 < 0$ (5) $-x^2 + x - \frac{1}{4} \le 0$ (6) $\frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 \le 0$ (7) $-4x^2 + 6x - 3 < 0$ (8) $2x^2 - 4x + 3 \le 0$

はい、承知いたしました。2次不等式の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた8つの2次不等式をそれぞれ解きます。

(1) $x^2 + 4x + 3 \ge 0$

(2) $x^2 - 2x - 1 < 0$

(3) $x^2 - 6x + 9 > 0$

(4) $4x^2 - 12x + 9 < 0$

(5) $-x^2 + x - \frac{1}{4} \le 0$

(6) $\frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 \le 0$

(7) $-4x^2 + 6x - 3 < 0$

(8) $2x^2 - 4x + 3 \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 4x + 3 \ge 0$

因数分解すると $(x+1)(x+3) \ge 0$

したがって、$x \le -3$, $x \ge -1$

(2) $x^2 - 2x - 1 < 0$

解の公式より、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

(3) $x^2 - 6x + 9 > 0$

因数分解すると $(x-3)^2 > 0$

したがって、$x \ne 3$

(4) $4x^2 - 12x + 9 < 0$

因数分解すると $(2x-3)^2 < 0$

この不等式を満たす実数 $x$ は存在しない。

したがって、解なし。

(5) $-x^2 + x - \frac{1}{4} \le 0$

両辺に -1 をかけると $x^2 - x + \frac{1}{4} \ge 0$

因数分解すると $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$

したがって、すべての実数。

(6) $\frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 \le 0$

両辺に 2 をかけると $x^2 - 8x + 16 \le 0$

因数分解すると $(x-4)^2 \le 0$

したがって、$x=4$

(7) $-4x^2 + 6x - 3 < 0$

両辺に -1 をかけると $4x^2 - 6x + 3 > 0$

判別式 $D = (-6)^2 - 4(4)(3) = 36 - 48 = -12 < 0$

したがって、すべての実数。

(8) $2x^2 - 4x + 3 \le 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0$

$2x^2 - 4x + 3 = 2(x-1)^2 + 1 > 0$ なので、$2x^2 - 4x + 3 \le 0$ を満たす実数 $x$ は存在しない。

したがって、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $x \le -3$, $x \ge -1$

(2) $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

(3) $x \ne 3$

(4) 解なし

(5) すべての実数

(6) $x=4$

(7) すべての実数

(8) 解なし