与えられた4つの2変数関数 $f(x, y)$ について、$(x, y) \to (0, 0)$ における極限が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその値を求める問題です。 (1) $f(x, y) = \frac{3x^2 + 5y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ (2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$ (3) $f(x, y) = \frac{x^5}{(y - x^2)^2 + x^6}$ (4) $f(x, y) = \frac{x^4 y^2}{(x^3 + y^3)^2 + x^8}$

1. 問題の内容

与えられた4つの2変数関数 $f(x, y)$ について、$(x, y) \to (0, 0)$ における極限が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその値を求める問題です。

(1) $f(x, y) = \frac{3x^2 + 5y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

(2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$

(3) $f(x, y) = \frac{x^5}{(y - x^2)^2 + x^6}$

(4) $f(x, y) = \frac{x^4 y^2}{(x^3 + y^3)^2 + x^8}$

2. 解き方の手順

極限が存在するかどうかを調べるために、いくつかの異なる経路から原点に近づいた場合に、関数 $f(x, y)$ が同じ値に収束するかどうかを確認します。もし異なる経路で異なる値に収束する場合、極限は存在しません。極座標変換や特定の曲線に沿って近づく方法が有効です。

(1) 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、

$f(x, y) = \frac{3r^2\cos^2\theta + 5r^2\sin^2\theta}{r} = r(3\cos^2\theta + 5\sin^2\theta)$

$r \to 0$ のとき $f(x, y) \to 0$ である。したがって、極限は0である。

(2) $x = y^2$ に沿って近づくと、

$f(x, y) = \frac{y^2 y^2}{y^4 + y^4} = \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}$

$x = 0$ に沿って近づくと、

$f(x, y) = \frac{0}{y^4} = 0$

したがって、極限は存在しない。

(3) $y = x^2 + x^3$ に沿って近づくと、

$f(x, y) = \frac{x^5}{(x^3)^2 + x^6} = \frac{x^5}{2x^6} = \frac{1}{2x}$

$x \to 0$ のとき $f(x, y)$ は発散するため、極限は存在しない。

あるいは、 $y=x^2$に沿って近づくと、

$f(x,y) = \frac{x^5}{0+x^6}=\frac{1}{x}$

よって、極限は存在しない。

(4) $y = x$ に沿って近づくと、

$f(x, y) = \frac{x^4 x^2}{(x^3 + x^3)^2 + x^8} = \frac{x^6}{(2x^3)^2 + x^8} = \frac{x^6}{4x^6 + x^8} = \frac{1}{4 + x^2}$

$x \to 0$ のとき $f(x, y) \to \frac{1}{4}$

$x = 0$ に沿って近づくと、

$f(x, y) = \frac{0}{(y^3)^2 + 0} = 0$

したがって、極限は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在し、0 です。

(2) 極限は存在しません。

(3) 極限は存在しません。

(4) 極限は存在しません。