$xy$ 座標平面において、不等式 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{48} \le 1$ と $-1 \le y \le 4$ の連立不等式で表される領域 $D$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 座標平面において、不等式 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{48} \le 1$ と $-1 \le y \le 4$ の連立不等式で表される領域 $D$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、双曲線 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{48} = 1$ について考えます。

この式を $x^2$ について解くと、

$x^2 = 3(1+\frac{y^2}{48})$

$x = \pm \sqrt{3(1+\frac{y^2}{48})} = \pm \sqrt{3 + \frac{y^2}{16}}$

となります。

領域 $D$ の面積は、積分を用いて計算できます。

$y$ の範囲が $-1 \le y \le 4$ なので、

面積 $S$ は次の積分で与えられます。

$S = \int_{-1}^4 ( \sqrt{3 + \frac{y^2}{16}} - ( - \sqrt{3 + \frac{y^2}{16}} ) ) dy = 2 \int_{-1}^4 \sqrt{3 + \frac{y^2}{16}} dy$

$= 2 \int_{-1}^4 \sqrt{3(1 + \frac{y^2}{48})} dy = 2 \sqrt{3} \int_{-1}^4 \sqrt{1 + \frac{y^2}{48}} dy$

ここで、 $y = 4\sqrt{3} \sinh t$ と置換すると、 $dy = 4\sqrt{3} \cosh t dt$ となります。

$y^2/48 = \sinh^2 t$

$y = -1$ のとき、$\sinh t = \frac{-1}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{12}$。

$y = 4$ のとき、$\sinh t = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

積分範囲を $t_1$ から $t_2$ とすると、$\sinh t_1 = -\frac{\sqrt{3}}{12}$ , $\sinh t_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ となります。

$S = 2\sqrt{3} \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1+\sinh^2 t} \cdot 4\sqrt{3} \cosh t dt = 24 \int_{t_1}^{t_2} \cosh^2 t dt$

$= 24 \int_{t_1}^{t_2} \frac{1+\cosh 2t}{2} dt = 12 \int_{t_1}^{t_2} (1+\cosh 2t) dt = 12 [t + \frac{1}{2} \sinh 2t]_{t_1}^{t_2} = 12 [t + \sinh t \cosh t]_{t_1}^{t_2}$

$= 12 [(t_2 + \sinh t_2 \cosh t_2) - (t_1 + \sinh t_1 \cosh t_1)]$

$\cosh t_2 = \sqrt{1 + \sinh^2 t_2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cosh t_1 = \sqrt{1 + \sinh^2 t_1} = \sqrt{1 + \frac{3}{144}} = \sqrt{\frac{147}{144}} = \sqrt{\frac{49}{48}} = \frac{7}{4\sqrt{3}}$

$S = 12[arcsinh(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} - (arcsinh(-\frac{\sqrt{3}}{12}) + (-\frac{\sqrt{3}}{12}) \cdot \frac{7}{4\sqrt{3}})] = 12[arcsinh(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{2}{3} - arcsinh(-\frac{\sqrt{3}}{12}) + \frac{7}{48}] = 12[arcsinh(\frac{\sqrt{3}}{3}) - arcsinh(-\frac{\sqrt{3}}{12}) + \frac{32+7}{48}] = 12[arcsinh(\frac{\sqrt{3}}{3}) - arcsinh(-\frac{\sqrt{3}}{12}) + \frac{39}{48}] = 12 arcsinh(\frac{\sqrt{3}}{3}) - 12 arcsinh(-\frac{\sqrt{3}}{12}) + \frac{39}{4} = 12 arcsinh(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 12 arcsinh(\frac{\sqrt{3}}{12}) + \frac{39}{4}$

または

$S = 2 \int_{-1}^4 \sqrt{3 + \frac{y^2}{16}} dy \approx 2 \times 10.1246 = 20.2492 \approx \frac{81}{4} = 20.25$

と数値的に計算すると$20.25$になることがわかります。

3. 最終的な答え

$\frac{81}{4}$