問題は、漸化式を利用して不定積分 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、漸化式を利用して不定積分 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求めることです。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて漸化式を導出します。

$I_n = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ とおきます。

$I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx = \int \frac{x^2+1}{(x^2+1)^n} dx - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx = \int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}dx - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx = I_{n-1} - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx$

ここで $\int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx$ を部分積分を用いて変形します。

$u = x, dv = \frac{x}{(x^2+1)^n} dx$ とすると, $du = dx, v = \int \frac{x}{(x^2+1)^n} dx = \frac{1}{2} \int (x^2+1)^{-n} d(x^2+1) = \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-n+1}}{-n+1} = \frac{1}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}}$

よって,

$\int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx = uv - \int v du = \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \int \frac{1}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} dx = \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1}$

これを $I_n$ の式に代入すると

$I_n = I_{n-1} - [\frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1}] = I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} + \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1} = \frac{2-2n+1}{2(1-n)} I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}}$

$I_n = \frac{3-2n}{2(1-n)} I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}$

したがって

$I_n = \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}$

求める積分は $I_2 = \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ なので, $n=2$ を代入すると

$I_2 = \frac{2*2-3}{2*2-2} I_{2-1} + \frac{x}{2(2-1)(x^2+1)^{2-1}} = \frac{1}{2} I_1 + \frac{x}{2(x^2+1)}$

ここで $I_1 = \int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan{x}$

$I_2 = \frac{1}{2} \arctan{x} + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2} \arctan{x} + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$