不定積分 $\int \frac{x+3}{(x^2+2x+2)^2} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+3}{(x^2+2x+2)^2} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$ と変形する。

次に、$x+1 = \tan \theta$ と置換する。すると、$dx = \sec^2 \theta d\theta$ となる。

また、$x+3 = (x+1) + 2 = \tan \theta + 2$ である。

従って、積分は以下のようになる。

$\int \frac{x+3}{(x^2+2x+2)^2} dx = \int \frac{\tan \theta + 2}{(\tan^2 \theta + 1)^2} \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{\tan \theta + 2}{(\sec^2 \theta)^2} \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{\tan \theta + 2}{\sec^2 \theta} d\theta = \int (\tan \theta + 2) \cos^2 \theta d\theta$

$= \int \tan \theta \cos^2 \theta d\theta + \int 2\cos^2 \theta d\theta = \int \sin \theta \cos \theta d\theta + \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \int \frac{1}{2} \sin 2\theta d\theta + \int (1 + \cos 2\theta) d\theta$

$= -\frac{1}{4} \cos 2\theta + \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta + C = -\frac{1}{4} \cos 2\theta + \theta + \sin \theta \cos \theta + C$

ここで、$\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$、$\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ であることを用いる。

$\theta = \arctan(x+1)$ であるから、$\tan \theta = x+1$

$\cos 2\theta = \frac{1 - (x+1)^2}{1 + (x+1)^2} = \frac{1 - (x^2+2x+1)}{1 + x^2 + 2x + 1} = \frac{-x^2 - 2x}{x^2+2x+2}$

$\sin \theta = \frac{x+1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$

従って、

$-\frac{1}{4} \cos 2\theta = -\frac{1}{4} \cdot \frac{-x^2 - 2x}{x^2+2x+2} = \frac{x^2 + 2x}{4(x^2+2x+2)}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{x+1}{x^2+2x+2}$

したがって、積分は

$\frac{x^2 + 2x}{4(x^2+2x+2)} + \arctan(x+1) + \frac{x+1}{x^2+2x+2} + C = \frac{x^2 + 2x + 4(x+1)}{4(x^2+2x+2)} + \arctan(x+1) + C = \frac{x^2 + 6x + 4}{4(x^2+2x+2)} + \arctan(x+1) + C$

別解:

$\int \frac{x+3}{(x^2+2x+2)^2} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+2) + 2}{(x^2+2x+2)^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{(x^2+2x+2)^2} dx + 2 \int \frac{1}{(x^2+2x+2)^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{(x^2+2x+2)^2} dx + 2 \int \frac{1}{((x+1)^2+1)^2} dx$

$u = x^2+2x+2$ とすると、$du = (2x+2)dx$ であるから、

$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2} = \frac{1}{2} (-\frac{1}{u}) = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)}$

$x+1 = \tan \theta$ とすると、$dx = \sec^2 \theta d\theta$ であるから、

$2 \int \frac{1}{((x+1)^2+1)^2} dx = 2 \int \frac{1}{(\tan^2\theta + 1)^2} \sec^2 \theta d\theta = 2 \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^4 \theta} d\theta = 2 \int \cos^2 \theta d\theta = 2 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta = \theta + \sin \theta \cos \theta$

$= \arctan(x+1) + \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \arctan(x+1) + \frac{x+1}{x^2+2x+2}$

よって、

$-\frac{1}{2(x^2+2x+2)} + \arctan(x+1) + \frac{x+1}{x^2+2x+2} + C = \arctan(x+1) + \frac{2x+2-1}{2(x^2+2x+2)} + C = \arctan(x+1) + \frac{2x+1}{2(x^2+2x+2)} + C$

3. 最終的な答え

$\arctan(x+1) + \frac{2x+1}{2(x^2+2x+2)} + C$