与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -5x + \sin(2t)$ を、初期条件 $t=0$ で $x=0$, $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解き、その解 $x(t)$ を $x(t) = \frac{v_0+B}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{C}t) + D\sin(Et)$ の形で表したときの $A, B, C, D, E$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -5x + \sin(2t)$ を、初期条件 $t=0$ で $x=0$, $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解き、その解 $x(t)$ を $x(t) = \frac{v_0+B}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{C}t) + D\sin(Et)$ の形で表したときの $A, B, C, D, E$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} + 5x = 0$ の一般解を求める。特性方程式は $\lambda^2 + 5 = 0$ となり、$\lambda = \pm i\sqrt{5}$。したがって、同次方程式の一般解は $x_h(t) = c_1 \cos(\sqrt{5}t) + c_2 \sin(\sqrt{5}t)$ となる。

(2) 非同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} + 5x = \sin(2t)$ の特殊解を求める。特殊解を $x_p(t) = A\sin(2t)$ と仮定すると、

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -4A\sin(2t)$。これを元の微分方程式に代入すると、

$-4A\sin(2t) + 5A\sin(2t) = \sin(2t)$

$A\sin(2t) = \sin(2t)$

したがって、$A = 1$ より、$x_p(t) = \sin(2t)$

(3) 与えられた解の形と比較して、特殊解を $D\sin(Et)$ とおくと、$D=1$ かつ $E=2$ である。

(4) 一般解は $x(t) = c_1 \cos(\sqrt{5}t) + c_2 \sin(\sqrt{5}t) + \sin(2t)$ となる。

初期条件 $x(0) = 0$ より、$c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) + \sin(0) = 0$。よって、$c_1 = 0$。

したがって、$x(t) = c_2 \sin(\sqrt{5}t) + \sin(2t)$。

(5) $\frac{dx}{dt} = c_2 \sqrt{5} \cos(\sqrt{5}t) + 2\cos(2t)$。初期条件 $\frac{dx}{dt}(0) = v_0$ より、$c_2\sqrt{5}\cos(0) + 2\cos(0) = v_0$。よって、$c_2\sqrt{5} + 2 = v_0$。したがって、$c_2 = \frac{v_0 - 2}{\sqrt{5}}$。

(6) よって、$x(t) = \frac{v_0-2}{\sqrt{5}}\sin(\sqrt{5}t) + \sin(2t)$。与えられた解の形と比較すると、

$\frac{v_0+B}{\sqrt{A}} = \frac{v_0-2}{\sqrt{5}}$ より、$A = 5$ かつ $B = -2$。また、$C = 5$, $D = 1$, $E = 2$。

3. 最終的な答え

A = 5

B = -2

C = 5

D = 1

E = 2