与えられた連立一次方程式について、係数行列の階数を求め、簡約化（掃き出し法・基本変形）を用いて解を求めます。解なし、一意解、不定解の場合をそれぞれ判断し、不定解の場合には解のパラメータ表示を行います。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、係数行列の階数を求め、簡約化（掃き出し法・基本変形）を用いて解を求めます。解なし、一意解、不定解の場合をそれぞれ判断し、不定解の場合には解のパラメータ表示を行います。

2. 解き方の手順

(i) 係数行列の階数

与えられた連立一次方程式は

$x - 4y = 0$

$-3x + 12y + 12z = 0$

$6x - 24y + 8z = 0$

と表されます。この係数行列は

$A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 \\ -3 & 12 & 12 \\ 6 & -24 & 8 \end{bmatrix}$

です。

まず、第2行に第1行の3倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \\ 6 & -24 & 8 \end{bmatrix}$

次に、第3行から第1行の6倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}$

さらに、第3行から第2行の2/3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

この行列は、2つの線形独立な行を持つため、階数は2です。

(ii) 連立一次方程式の解

簡約化された行列は

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

に対応する方程式は

$x - 4y = 0$

$12z = 0$

となります。

したがって、$z = 0$ であり、$x = 4y$ です。

$y = c$ (任意定数) とすると、$x = 4c$ となります。

よって、解は

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4c \\ c \\ 0 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

となります。これは不定解であり、解の自由度は1です。

したがって、解答欄ウには2をマークします。

3. 最終的な答え

(i) 係数行列の階数は 2 です。

(ii) 連立一次方程式の解は不定解であり、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

となります。

解答欄ウには2をマークします。

エオ=4

カ=1

キ=0

ク=4

ケ=0