集合 $A = \{x | -1 < x \le 2\}$ と集合 $B = \{x | 1 < x \le 4\}$ が与えられています。以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap \overline{B}$ ただし、$1 < 4$, $6 < 8$, $9 < 13$ とし、$2, 3, 5, 7, 11, 12$ は下の選択肢から選ぶものとします。選択肢は①$<$、②$\le$、③$>$、④$\ge$です。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x | -1 < x \le 2\}$ と集合 $B = \{x | 1 < x \le 4\}$ が与えられています。以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap \overline{B}$

ただし、$1 < 4$, $6 < 8$, $9 < 13$ とし、$2, 3, 5, 7, 11, 12$ は下の選択肢から選ぶものとします。選択肢は①$<$、②$\le$、③$>$、④$\ge$です。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$: $A$ と $B$ の共通部分を求めます。$A$ は $-1 < x \le 2$ を満たす $x$ の集合、$B$ は $1 < x \le 4$ を満たす $x$ の集合です。したがって、$A \cap B$ は $1 < x \le 2$ を満たす $x$ の集合となります。

よって、1<$x$②$\le$2となります。したがって、②$\le$を選びます。

(2) $A \cup B$: $A$ と $B$ の和集合を求めます。$A$ は $-1 < x \le 2$ を満たす $x$ の集合、$B$ は $1 < x \le 4$ を満たす $x$ の集合です。したがって、$A \cup B$ は $-1 < x \le 4$ を満たす $x$ の集合となります。

よって、5$>$x②$\le$4となります。したがって、③$>$と②$\le$を選びます。

(3) $A \cap \overline{B}$: $A$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の共通部分を求めます。$B$ は $1 < x \le 4$ を満たす $x$ の集合なので、$\overline{B}$ は $x \le 1$ または $x > 4$ を満たす $x$ の集合です。$A$ は $-1 < x \le 2$ を満たす $x$ の集合なので、$A \cap \overline{B}$ は $-1 < x \le 1$ を満たす $x$ の集合となります。

よって、9<$x$②$\le$1となります。したがって、①$<$と②$\le$を選びます。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | 1 < x \le 2\}$

(2) $A \cup B = \{x | -1 < x \le 4\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{x | -1 < x \le 1\}$

(1)の解答の選択肢は②。

(2)の解答の選択肢は③と②。

(3)の解答の選択肢は①と②。