以下の微分方程式の解を、初期条件 $t=0$ で $x=x_0$, $\frac{dx}{dt}=0$ の下で求めよ。 $$ \frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \cos(\sqrt{3}t) $$ 解は以下の形式で与えられている。AからEにあてはまる整数を求めよ。 $$ x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B) \cos{\sqrt{C}t} + \frac{t}{\sqrt{D}} \sin{\sqrt{E}t} $$

1. 問題の内容

以下の微分方程式の解を、初期条件 $t=0$ で $x=x_0$, $\frac{dx}{dt}=0$ の下で求めよ。

$$$$

\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \cos(\sqrt{3}t)

$$$$

解は以下の形式で与えられている。AからEにあてはまる整数を求めよ。

$$$$

x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B) \cos{\sqrt{C}t} + \frac{t}{\sqrt{D}} \sin{\sqrt{E}t}

$$$$

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、

$$$$

\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = \cos(\sqrt{3}t)

$$$$

と変形できる。この微分方程式の一般解は、同次方程式の一般解 $x_h(t)$ と非同次方程式の特殊解 $x_p(t)$ の和で表される。

まず、同次方程式

$$$$

\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = 0

$$$$

を解く。特性方程式は $\lambda^2 + 3 = 0$ であり、$\lambda = \pm i\sqrt{3}$ となる。したがって、同次方程式の一般解は、

$$$$

x_h(t) = c_1 \cos(\sqrt{3}t) + c_2 \sin(\sqrt{3}t)

$$$$

となる。

次に、非同次方程式の特殊解を求める。$\cos(\sqrt{3}t)$ が同次方程式の解に含まれているので、特殊解を

$$$$

x_p(t) = At \sin(\sqrt{3}t)

$$$$

とおく。これを微分すると、

$$$$

\frac{dx_p}{dt} = A \sin(\sqrt{3}t) + A\sqrt{3}t \cos(\sqrt{3}t)

$$$$

$$$$

\frac{d^2x_p}{dt^2} = 2A\sqrt{3} \cos(\sqrt{3}t) - 3At \sin(\sqrt{3}t)

$$$$

これを与えられた微分方程式に代入すると、

$$$$

2A\sqrt{3} \cos(\sqrt{3}t) - 3At \sin(\sqrt{3}t) + 3At \sin(\sqrt{3}t) = \cos(\sqrt{3}t)

$$$$

$$$$

2A\sqrt{3} \cos(\sqrt{3}t) = \cos(\sqrt{3}t)

$$$$

したがって、$2A\sqrt{3} = 1$ より $A = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ となる。

よって、特殊解は

$$$$

x_p(t) = \frac{\sqrt{3}}{6} t \sin(\sqrt{3}t)

$$$$

微分方程式の一般解は

$$$$

x(t) = c_1 \cos(\sqrt{3}t) + c_2 \sin(\sqrt{3}t) + \frac{\sqrt{3}}{6} t \sin(\sqrt{3}t)

$$$$

初期条件 $x(0) = x_0$ より、$x(0) = c_1 = x_0$。

したがって、

$$$$

x(t) = x_0 \cos(\sqrt{3}t) + c_2 \sin(\sqrt{3}t) + \frac{\sqrt{3}}{6} t \sin(\sqrt{3}t)

$$$$

これを微分すると、

$$$$

\frac{dx}{dt} = -x_0\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) + c_2\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) + \frac{\sqrt{3}}{6}\sin(\sqrt{3}t) + \frac{1}{2} t \cos(\sqrt{3}t)

$$$$

初期条件 $\frac{dx}{dt}(0) = 0$ より、$\frac{dx}{dt}(0) = c_2\sqrt{3} = 0$。したがって、$c_2 = 0$。

よって、

$$$$

x(t) = x_0 \cos(\sqrt{3}t) + \frac{\sqrt{3}}{6} t \sin(\sqrt{3}t) = x_0 \cos(\sqrt{3}t) + \frac{t}{2\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3}t)

$$$$

与えられた形式と比べると、

$$$$

x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B) \cos{\sqrt{C}t} + \frac{t}{\sqrt{D}} \sin{\sqrt{E}t}

$$$$

$A=1$, $B=0$, $C=3$, $D=12$, $E=3$ である。

3. 最終的な答え

A = 1

B = 0

C = 3

D = 12

E = 3