与えられた微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \cos(\sqrt{3}t)$ の解を、初期条件 $t=0$ で $x=x_0$, $\frac{dx}{dt} = 0$ の下で求める。解は $x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B)\cos(\sqrt{C}t) + \frac{t}{\sqrt{D}}\sin(\sqrt{E}t)$ の形で与えられる。$A$ から $E$ までの整数を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \cos(\sqrt{3}t)$ の解を、初期条件 $t=0$ で $x=x_0$, $\frac{dx}{dt} = 0$ の下で求める。解は $x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B)\cos(\sqrt{C}t) + \frac{t}{\sqrt{D}}\sin(\sqrt{E}t)$ の形で与えられる。$A$ から $E$ までの整数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を整理する。

$\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = \cos(\sqrt{3}t)$

これは非同次線形微分方程式である。

まず、同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = 0$ を解く。

特性方程式は $r^2 + 3 = 0$ で、解は $r = \pm i\sqrt{3}$。

よって、同次方程式の一般解は $x_h(t) = c_1\cos(\sqrt{3}t) + c_2\sin(\sqrt{3}t)$。

次に、非同次方程式の特殊解を求める。

右辺が $\cos(\sqrt{3}t)$ なので、特殊解を $x_p(t) = At\cos(\sqrt{3}t) + Bt\sin(\sqrt{3}t)$ と仮定する。

$x_p'(t) = A\cos(\sqrt{3}t) - A\sqrt{3}t\sin(\sqrt{3}t) + B\sin(\sqrt{3}t) + B\sqrt{3}t\cos(\sqrt{3}t)$

$x_p''(t) = -A\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - A\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - 3At\cos(\sqrt{3}t) + B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) + B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 3Bt\sin(\sqrt{3}t)$

$x_p''(t) = -2A\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - 3At\cos(\sqrt{3}t) + 2B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 3Bt\sin(\sqrt{3}t)$

これを微分方程式に代入すると、

$-2A\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - 3At\cos(\sqrt{3}t) + 2B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 3Bt\sin(\sqrt{3}t) + 3At\cos(\sqrt{3}t) + 3Bt\sin(\sqrt{3}t) = \cos(\sqrt{3}t)$

$2B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 2A\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) = \cos(\sqrt{3}t)$

係数を比較して $2B\sqrt{3} = 1$ と $-2A\sqrt{3} = 0$。

したがって、$A=0$ と $B = \frac{1}{2\sqrt{3}}$。

特殊解は $x_p(t) = \frac{1}{2\sqrt{3}}t\sin(\sqrt{3}t)$。

一般解は $x(t) = c_1\cos(\sqrt{3}t) + c_2\sin(\sqrt{3}t) + \frac{1}{2\sqrt{3}}t\sin(\sqrt{3}t)$。

初期条件 $x(0) = x_0$ より、$x(0) = c_1\cos(0) + c_2\sin(0) + 0 = c_1 = x_0$。

$x'(t) = -x_0\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) + c_2\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) + \frac{1}{2\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}t) + \frac{1}{2}t\cos(\sqrt{3}t)$

初期条件 $x'(0) = 0$ より、$x'(0) = -x_0\sqrt{3}\sin(0) + c_2\sqrt{3}\cos(0) + \frac{1}{2\sqrt{3}}\sin(0) + 0 = c_2\sqrt{3} = 0$。

したがって、$c_2 = 0$。

よって、解は $x(t) = x_0\cos(\sqrt{3}t) + \frac{1}{2\sqrt{3}}t\sin(\sqrt{3}t)$。

与えられた形と比較すると、

$x(t) = (\frac{x_0}{\sqrt{A}} + B)\cos(\sqrt{C}t) + \frac{t}{\sqrt{D}}\sin(\sqrt{E}t)$

$x(t) = x_0\cos(\sqrt{3}t) + \frac{1}{2\sqrt{3}}t\sin(\sqrt{3}t)$

$\sqrt{A} = 1 \Rightarrow A = 1$

$B = 0$

$\sqrt{C} = \sqrt{3} \Rightarrow C = 3$

$\frac{1}{\sqrt{D}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \Rightarrow \sqrt{D} = 2\sqrt{3} \Rightarrow D = 12$

$\sqrt{E} = \sqrt{3} \Rightarrow E = 3$

3. 最終的な答え

$A = 1$

$B = 0$

$C = 3$

$D = 12$

$E = 3$