与えられた2階線形常微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -5x + \sin(2t)$ を初期条件 $t=0$ で $x=0$, $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解き、その解が $x(t) = \frac{(v_0+B)}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{C}t) + D\sin(Et)$ の形で与えられるとき、定数 $A, B, C, D, E$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2階線形常微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -5x + \sin(2t)$ を初期条件 $t=0$ で $x=0$, $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解き、その解が $x(t) = \frac{(v_0+B)}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{C}t) + D\sin(Et)$ の形で与えられるとき、定数 $A, B, C, D, E$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を書き換えます。

$\frac{d^2x}{dt^2} + 5x = \sin(2t)$

この非同次方程式の一般解は、同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解の和で与えられます。

同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} + 5x = 0$ の特性方程式は $r^2 + 5 = 0$ であり、$r = \pm i\sqrt{5}$ です。したがって、同次方程式の一般解は

$x_h(t) = c_1\cos(\sqrt{5}t) + c_2\sin(\sqrt{5}t)$

と表されます。

次に、非同次方程式の特殊解を仮定します。右辺が $\sin(2t)$ なので、$x_p(t) = A\sin(2t)$ の形を仮定します。

これを微分すると、

$\frac{dx_p}{dt} = 2A\cos(2t)$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -4A\sin(2t)$

となります。

これを元の微分方程式に代入すると、

$-4A\sin(2t) + 5A\sin(2t) = \sin(2t)$

$A\sin(2t) = \sin(2t)$

したがって、$A = 1$ であり、$x_p(t) = \sin(2t)$ が特殊解となります。

よって、一般解は

$x(t) = c_1\cos(\sqrt{5}t) + c_2\sin(\sqrt{5}t) + \sin(2t)$

となります。

次に、初期条件を適用します。$x(0) = 0$ より、

$0 = c_1\cos(0) + c_2\sin(0) + \sin(0) = c_1$

したがって、$c_1 = 0$ です。

よって、$x(t) = c_2\sin(\sqrt{5}t) + \sin(2t)$ となります。

これを微分すると、

$\frac{dx}{dt} = c_2\sqrt{5}\cos(\sqrt{5}t) + 2\cos(2t)$

$t=0$ で $\frac{dx}{dt} = v_0$ より、

$v_0 = c_2\sqrt{5}\cos(0) + 2\cos(0) = c_2\sqrt{5} + 2$

したがって、$c_2 = \frac{v_0 - 2}{\sqrt{5}}$ となります。

よって、解は

$x(t) = \frac{v_0 - 2}{\sqrt{5}}\sin(\sqrt{5}t) + \sin(2t)$

となります。

問題で与えられた解の形と比較すると、

$x(t) = \frac{(v_0+B)}{\sqrt{A}}\sin(\sqrt{C}t) + D\sin(Et)$

$A = 5, B = -2, C = 5, D = 1, E = 2$

となります。

3. 最終的な答え

A = 5

B = -2

C = 5

D = 1

E = 2