問題は、与えられた命題の間の必要条件と十分条件の関係を判断することです。具体的には、以下の4つの命題について、空欄に当てはまる選択肢（1. 必要十分条件、2. 必要条件だが十分条件ではない、3. 十分条件だが必要条件ではない、4. 必要条件でも十分条件でもない）を選ぶ問題です。 (1) $-3 \le x \le 3$ かつ $-3 \le y \le 3$ であることは、$x^2 + y^2 \le 9$ であるための $\boxed{1}$。 (2) $|x| \le 2$ かつ $|y| \le 2$ であることは、$|x| + |y| \le 2$ であるための $\boxed{2}$。 (3) $x > 3$ であることは、$x^2 + x - 12 > 0$ であるための $\boxed{3}$。 (4) 自然数 $n$ に対して、$n^2$ を 5 で割ると 4 余ることは、$n$ を 5 で割ると 4 余るための $\boxed{4}$。

1. 問題の内容

問題は、与えられた命題の間の必要条件と十分条件の関係を判断することです。具体的には、以下の4つの命題について、空欄に当てはまる選択肢（

1. 必要十分条件、

2. 必要条件だが十分条件ではない、

3. 十分条件だが必要条件ではない、

4. 必要条件でも十分条件でもない）を選ぶ問題です。

(1) $-3 \le x \le 3$ かつ $-3 \le y \le 3$ であることは、$x^2 + y^2 \le 9$ であるための $\boxed{1}$。

(2) $|x| \le 2$ かつ $|y| \le 2$ であることは、$|x| + |y| \le 2$ であるための $\boxed{2}$。

(3) $x > 3$ であることは、$x^2 + x - 12 > 0$ であるための $\boxed{3}$。

(4) 自然数 $n$ に対して、$n^2$ を 5 で割ると 4 余ることは、$n$ を 5 で割ると 4 余るための $\boxed{4}$。

2. 解き方の手順

(1)

- $-3 \le x \le 3$ かつ $-3 \le y \le 3$ ならば、$x^2 \le 9$ かつ $y^2 \le 9$ なので、$x^2 + y^2 \le 18$ となります。

- しかし、$x^2+y^2 \le 9$ の場合、例えば$x = 0$、$y = 0$の時成り立ちますが、$x = 4, y=0$とすると、$x^2 + y^2 = 16 > 9$となりますが、$x$または$y$が条件を満たしていません。

- $x^2 + y^2 \le 9$ ならば、$-3 \le x \le 3$ かつ $-3 \le y \le 3$ は成り立ちます。

- 例えば、$x=0$ とすると $y^2 \le 9$ となり、$|y| \le 3$ です。

- よって、必要十分条件です。

(2)

- $|x| \le 2$ かつ $|y| \le 2$ ならば、$|x| + |y| \le 4$ となります。

- しかし、$|x| \le 2$ かつ $|y| \le 2$ ならば、$|x| + |y| \le 2$ とは限りません。例えば、$x = 2$、$y = 2$ の場合、$|x| + |y| = 4 > 2$ となります。

- $|x| + |y| \le 2$ ならば、$|x| \le 2$ かつ $|y| \le 2$ は成り立ちます。

- 例えば、$|x| + |y| \le 2$ ならば、$|x| \le 2$ かつ $|y| \le 2$ です。

- よって、必要条件ですが、十分条件ではありません。

(3)

- $x > 3$ ならば、$x^2 + x - 12 > 0$ であるかどうかを調べます。

$x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3) > 0$ となるのは、$x > 3$ または $x < -4$ のときです。

- よって、$x > 3$ ならば、$x^2 + x - 12 > 0$ です。

- $x^2 + x - 12 > 0$ ならば、$x > 3$ とは限りません。例えば、$x = -5$ の場合、$x^2 + x - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0$ ですが、$x > 3$ ではありません。

- よって、十分条件ですが、必要条件ではありません。

(4)

- $n^2$ を 5 で割ると 4 余ることは、$n$ を 5 で割ると 4 余るための条件を調べます。

- $n \equiv 4 \pmod{5}$ ならば、$n = 5k + 4$ と表せます。このとき、$n^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$ となり、$n^2$ を 5 で割ると 1 余ります。

- $n \equiv 1 \pmod{5}$ ならば、$n = 5k + 1$ と表せます。このとき、$n^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$ となり、$n^2$ を 5 で割ると 1 余ります。

- $n \equiv 2 \pmod{5}$ ならば、$n = 5k + 2$ と表せます。このとき、$n^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$ となり、$n^2$ を 5 で割ると 4 余ります。

- $n \equiv 3 \pmod{5}$ ならば、$n = 5k + 3$ と表せます。このとき、$n^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$ となり、$n^2$ を 5 で割ると 4 余ります。

- $n \equiv 0 \pmod{5}$ ならば、$n = 5k$ と表せます。このとき、$n^2 = 25k^2$ となり、$n^2$ を 5 で割ると 0 余ります。

- $n^2$ を 5 で割ると 4 余るならば、$n \equiv 2 \pmod{5}$ または $n \equiv 3 \pmod{5}$ です。

- $n$ を 5 で割ると 4 余るならば、$n \equiv 4 \pmod{5}$ で、$n^2 \equiv 1 \pmod{5}$ となります。

- よって、必要条件でも十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4