(1) 縦15m、横24mの長方形の畑に、同じ幅の道を縦横につくり、残った畑の面積が252 $m^2$になるようにするとき、道の幅を求める。 (2) 縦8cm、横12cmの長方形の縦と横を$x$ cmずつ短くした長方形を作ったら、面積が元の長方形よりも51 $cm^2$小さくなった。このとき、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 縦15m、横24mの長方形の畑に、同じ幅の道を縦横につくり、残った畑の面積が252 $m^2$になるようにするとき、道の幅を求める。

(2) 縦8cm、横12cmの長方形の縦と横を$x$ cmずつ短くした長方形を作ったら、面積が元の長方形よりも51 $cm^2$小さくなった。このとき、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

道の幅を$x$ mとすると、残った畑の縦の長さは$(15-x)$ m、横の長さは$(24-x)$ mとなる。

残った畑の面積は252 $m^2$なので、

$(15-x)(24-x) = 252$

$360 - 15x - 24x + x^2 = 252$

$x^2 - 39x + 360 - 252 = 0$

$x^2 - 39x + 108 = 0$

$(x - 3)(x - 36) = 0$

$x = 3, 36$

道の幅は長方形の縦の長さよりも小さくなければならないので、$x < 15$より、$x=3$

(2)

元の長方形の面積は $8 \times 12 = 96$ $cm^2$

縦と横を$x$ cmずつ短くした長方形の縦の長さは$(8-x)$ cm、横の長さは$(12-x)$ cmとなる。

面積は$(8-x)(12-x)$ $cm^2$

面積が51 $cm^2$小さくなったので、$(8-x)(12-x) = 96 - 51$

$(8-x)(12-x) = 45$

$96 - 8x - 12x + x^2 = 45$

$x^2 - 20x + 96 - 45 = 0$

$x^2 - 20x + 51 = 0$

$(x-3)(x-17) = 0$

$x=3, 17$

$x<8$より、$x=3$

3. 最終的な答え

(1) 3 m

(2) 3