$x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$、$y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき、$x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^3+y^3$, $x^4+y^4$, $x^5+y^5$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$、$y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき、$x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^3+y^3$, $x^4+y^4$, $x^5+y^5$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 - 2\sqrt{6}$

$y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}$

$x+y = (5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 10$

$xy = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 25 - 4(6) = 25 - 24 = 1$

次に、$x^2+y^2$を求める。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$

次に、$x^3+y^3$を求める。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)(x^2+y^2-xy) = 10(98 - 1) = 10(97) = 970$

次に、$x^4+y^4$を求める。

$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (98)^2 - 2(1)^2 = 9604 - 2 = 9602$

次に、$x^5+y^5$を求める。

$x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y) = (98)(970) - (1)(10) = 95060 - 10 = 95050$

3. 最終的な答え

$x+y = 10$

$xy = 1$

$x^2+y^2 = 98$

$x^3+y^3 = 970$

$x^4+y^4 = 9602$

$x^5+y^5 = 95050$