袋の中に金、赤、青、黒の玉が合計10個入っており、それぞれの玉の点数が金+5点、赤+3点、青-1点、黒-3点と定められています。この袋から2つの玉を同時に取り出すとき、取り出した2つの玉の合計得点Xに関する以下の問いに答えます。 1. Xの取り得る値全体の集合を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に金、赤、青、黒の玉が合計10個入っており、それぞれの玉の点数が金+5点、赤+3点、青-1点、黒-3点と定められています。この袋から2つの玉を同時に取り出すとき、取り出した2つの玉の合計得点Xに関する以下の問いに答えます。

1. Xの取り得る値全体の集合を求めよ。

2. Xの確率密度関数$f(x)$を求め、そのグラフを描け。

3. $P(X=2)$と$P(-2 \le X \le 3)$を求めよ。

4. Xの累積分布関数を$F(x)$とするとき、$F(3)$の値を求めよ。

5. Xの期待値$E[X]$と分散$V[X]$を求めよ。

なお、金、赤、青、黒の玉の個数はそれぞれ3個、2個、4個、1個とします。

2. 解き方の手順

1. **Xの取り得る値の集合の決定:**

取り出しうる組み合わせを考え、それぞれの合計得点を計算します。

* 金 + 金: $5 + 5 = 10$

* 金 + 赤: $5 + 3 = 8$

* 金 + 青: $5 + (-1) = 4$

* 金 + 黒: $5 + (-3) = 2$

* 赤 + 赤: $3 + 3 = 6$

* 赤 + 青: $3 + (-1) = 2$

* 赤 + 黒: $3 + (-3) = 0$

* 青 + 青: $(-1) + (-1) = -2$

* 青 + 黒: $(-1) + (-3) = -4$

* 黒 + 黒: $(-3) + (-3) = -6$

Xの取り得る値の集合は$\{-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10\}$です。

2. **確率密度関数$f(x)$の決定:**

各Xの値に対する確率を計算します。

全事象は$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$通りです。

* $P(X=10)$: 金2個を取り出す確率 $\frac{_3C_2}{45} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$

* $P(X=8)$: 金と赤を取り出す確率 $\frac{3 \times 2}{45} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

* $P(X=6)$: 赤2個を取り出す確率 $\frac{_2C_2}{45} = \frac{1}{45}$

* $P(X=4)$: 金と青を取り出す確率 $\frac{3 \times 4}{45} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$

* $P(X=2)$: 金と黒、または赤と青を取り出す確率 $\frac{3 \times 1 + 2 \times 4}{45} = \frac{3 + 8}{45} = \frac{11}{45}$

* $P(X=0)$: 赤と黒を取り出す確率 $\frac{2 \times 1}{45} = \frac{2}{45}$

* $P(X=-2)$: 青2個を取り出す確率 $\frac{_4C_2}{45} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

* $P(X=-4)$: 青と黒を取り出す確率 $\frac{4 \times 1}{45} = \frac{4}{45}$

* $P(X=-6)$: 黒2個を取り出す確率 $\frac{_1C_2}{45} = 0$ (黒の玉は1つしかないのでありえない)

確率密度関数$f(x)$は以下の通りです。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{1}{15} & (x=10) \\

\frac{2}{15} & (x=8) \\

\frac{1}{45} & (x=6) \\

\frac{4}{15} & (x=4) \\

\frac{11}{45} & (x=2) \\

\frac{2}{45} & (x=0) \\

\frac{2}{15} & (x=-2) \\

\frac{4}{45} & (x=-4) \\

0 & (x=-6) \\

0 & (otherwise)

\end{cases}$

確率密度関数のグラフは、x軸に-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10の値をとり、y軸にそれぞれの確率の値をとる棒グラフとして描くことができます。

3. **$P(X=2)$と$P(-2 \le X \le 3)$の計算:**

$P(X=2) = \frac{11}{45}$

$P(-2 \le X \le 3) = P(X=-2) + P(X=0) + P(X=2) = \frac{2}{15} + \frac{2}{45} + \frac{11}{45} = \frac{6+2+11}{45} = \frac{19}{45}$

4. **$F(3)$の計算:**

$F(3)$は$X \le 3$となる確率なので、$P(X=-4) + P(X=-2) + P(X=0) + P(X=2) = \frac{4}{45} + \frac{6}{45} + \frac{2}{45} + \frac{11}{45} = \frac{23}{45}$

$F(3) = \frac{23}{45}$

5. **$E[X]$と$V[X]$の計算:**

$E[X] = 10 \times \frac{1}{15} + 8 \times \frac{2}{15} + 6 \times \frac{1}{45} + 4 \times \frac{4}{15} + 2 \times \frac{11}{45} + 0 \times \frac{2}{45} + (-2) \times \frac{2}{15} + (-4) \times \frac{4}{45} + (-6) \times 0$

$= \frac{30 + 48 + 6 + 48 + 22 - 12 - 16}{45} = \frac{126}{45} = \frac{14}{5} = 2.8$

$E[X^2] = 100 \times \frac{1}{15} + 64 \times \frac{2}{15} + 36 \times \frac{1}{45} + 16 \times \frac{4}{15} + 4 \times \frac{11}{45} + 0 \times \frac{2}{45} + 4 \times \frac{2}{15} + 16 \times \frac{4}{45} + 36 \times 0$

$= \frac{300 + 64 \times 3 + 36 + 16 \times 12 + 44 + 0 + 4 \times 3 + 64}{45} = \frac{300 + 192 + 36 + 192 + 44 + 12 + 64}{45} = \frac{840}{45} = \frac{56}{3}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{56}{3} - (\frac{14}{5})^2 = \frac{56}{3} - \frac{196}{25} = \frac{56 \times 25 - 196 \times 3}{75} = \frac{1400 - 588}{75} = \frac{812}{75} \approx 10.83$

3. 最終的な答え

1. Xの取り得る値の集合: $\{-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10\}$

2. 確率密度関数$f(x)$は上記の通り

3. $P(X=2) = \frac{11}{45}$, $P(-2 \le X \le 3) = \frac{19}{45}$

4. $F(3) = \frac{23}{45}$

5. $E[X] = \frac{14}{5} = 2.8$, $V[X] = \frac{812}{75}$