与えられた積分を計算します。積分は $ -\int \frac{1}{9 - y^2} dy $ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は

$-\int \frac{1}{9 - y^2} dy$

です。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて、被積分関数をより簡単な形に分解します。

$\frac{1}{9-y^2} = \frac{1}{(3-y)(3+y)}$

$\frac{1}{(3-y)(3+y)} = \frac{A}{3-y} + \frac{B}{3+y}$

$1 = A(3+y) + B(3-y)$

$1 = (A-B)y + 3A + 3B$

この等式が成り立つためには、

$A - B = 0$ かつ $3A + 3B = 1$

$A = B$ かつ $6A = 1$

よって $A = \frac{1}{6}$ かつ $B = \frac{1}{6}$

したがって、

$\frac{1}{9-y^2} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3-y} + \frac{1}{3+y} \right)$

与えられた積分は

$-\int \frac{1}{9-y^2} dy = -\frac{1}{6} \int \left( \frac{1}{3-y} + \frac{1}{3+y} \right) dy$

$= -\frac{1}{6} \left( \int \frac{1}{3-y} dy + \int \frac{1}{3+y} dy \right)$

$\int \frac{1}{3-y} dy = -\ln|3-y| + C_1$

$\int \frac{1}{3+y} dy = \ln|3+y| + C_2$

したがって、

$-\frac{1}{6} \left( -\ln|3-y| + \ln|3+y| \right) + C = \frac{1}{6} \ln|3-y| - \frac{1}{6} \ln|3+y| + C$

$= \frac{1}{6} \ln \left| \frac{3-y}{3+y} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6} \ln \left| \frac{3-y}{3+y} \right| + C$