与えられた定積分の値を求める問題です。積分は、$\int_{0}^{\pi} \pi (\sin^3 x)^2 dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求める問題です。積分は、$\int_{0}^{\pi} \pi (\sin^3 x)^2 dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$(\sin^3 x)^2 = \sin^6 x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\pi} \pi \sin^6 x dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^6 x dx$

$\sin^6 x$ の積分を求めるために、次の公式を利用します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\sin^6 x = (\sin^2 x)^3 = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^3 = \frac{1}{8} (1 - \cos 2x)^3 = \frac{1}{8} (1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x)$

さらに、

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$

$\cos^3 2x = \cos 2x \cos^2 2x = \cos 2x \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} (\cos 2x + \cos 2x \cos 4x) = \frac{1}{2} (\cos 2x + \frac{1}{2} (\cos 6x + \cos 2x)) = \frac{3}{4} \cos 2x + \frac{1}{4} \cos 6x$

したがって、

$\sin^6 x = \frac{1}{8} (1 - 3\cos 2x + 3\frac{1 + \cos 4x}{2} - (\frac{3}{4} \cos 2x + \frac{1}{4} \cos 6x)) = \frac{1}{8} (1 - 3\cos 2x + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos 4x - \frac{3}{4} \cos 2x - \frac{1}{4} \cos 6x) = \frac{1}{8} (\frac{5}{2} - \frac{15}{4} \cos 2x + \frac{3}{2} \cos 4x - \frac{1}{4} \cos 6x) = \frac{5}{16} - \frac{15}{32} \cos 2x + \frac{3}{16} \cos 4x - \frac{1}{32} \cos 6x$

$\int_{0}^{\pi} \sin^6 x dx = \int_{0}^{\pi} (\frac{5}{16} - \frac{15}{32} \cos 2x + \frac{3}{16} \cos 4x - \frac{1}{32} \cos 6x) dx = [\frac{5}{16}x - \frac{15}{64} \sin 2x + \frac{3}{64} \sin 4x - \frac{1}{192} \sin 6x]_{0}^{\pi} = \frac{5}{16} \pi$

したがって、

$\pi \int_{0}^{\pi} \sin^6 x dx = \pi \cdot \frac{5}{16} \pi = \frac{5}{16} \pi^2$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi^2}{16}$