自然数 $m, n$ に関する条件 $p, q, r$ が与えられています。 $p: m > 4$ または $n > 4$ $q: mn > 4$ $r: mn > 4^2 = 16$ (1) $p$ の否定 $\bar{p}$ を求めます。 (2) $p$ は $q$ であるための何条件か、$p$ は $r$ であるための何条件かを求めます。

1. 問題の内容

自然数 $m, n$ に関する条件 $p, q, r$ が与えられています。

$p: m > 4$ または $n > 4$

$q: mn > 4$

$r: mn > 4^2 = 16$

(1) $p$ の否定 $\bar{p}$ を求めます。

(2) $p$ は $q$ であるための何条件か、$p$ は $r$ であるための何条件かを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $p$ の否定 $\bar{p}$ を求めます。

$p$ は「$m > 4$ または $n > 4$」なので、その否定は「$m \le 4$ かつ $n \le 4$」です。

よって、1 は ③ となります。

(2) $p$ は $q$ であるための何条件かを考えます。

$p: m > 4$ または $n > 4$

$q: mn > 4$

$p \Rightarrow q$ が成り立つか検討します。

$m = 5, n = 1$ のとき、$p$ は成り立ちますが、$q$ は $5 \times 1 = 5 > 4$ で成り立つので、$p \Rightarrow q$ は成り立ちます。

$q \Rightarrow p$ が成り立つか検討します。

$m = 1, n = 5$ のとき、$q$ は $1 \times 5 = 5 > 4$ で成り立ちますが、$p$ は成り立ちます。

$m = 1, n = 6$ のとき、$q$ は $1 \times 6 = 6 > 4$ で成り立ちますが、$p$ は成り立ちます。

$m = 2, n = 3$ のとき、$q$ は $2 \times 3 = 6 > 4$ で成り立ちますが、$p$ は $m > 4$ または $n > 4$ でないので、$p$ は成り立ちません。

よって、$q \Rightarrow p$ は成り立ちません。

したがって、$p$ は $q$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

よって、2 は ③ となります。

$p$ は $r$ であるための何条件かを考えます。

$p: m > 4$ または $n > 4$

$r: mn > 16$

$p \Rightarrow r$ が成り立つか検討します。

$m = 5, n = 1$ のとき、$p$ は成り立ちますが、$r$ は $5 \times 1 = 5 > 16$ ではないので成り立ちません。

したがって、$p \Rightarrow r$ は成り立ちません。

$r \Rightarrow p$ が成り立つか検討します。

$m = 1, n = 17$ のとき、$r$ は $1 \times 17 = 17 > 16$ で成り立ち、$p$ は $n > 4$ で成り立ちます。

$m = 2, n = 9$ のとき、$r$ は $2 \times 9 = 18 > 16$ で成り立ち、$p$ は $n > 4$ で成り立ちます。

しかし、$m = 4, n = 5$ のとき、$r$ は $4 \times 5 = 20 > 16$ で成り立ち、$p$ も $n > 4$ で成り立ちます。

$m=17, n =1$ のとき、$r$ は $17 \times 1 = 17 > 16$ で成り立ち、$p$ も $m > 4$ で成り立ちます。

$p$ が成り立たない場合で、$r$ が成り立つ例を探します。

$m = 5, n = 4$のとき、$mn = 20 > 16$ なのでrは成り立ちますが、$m > 4$なので$p$も成り立ちます。

$m=4, n=4$ のとき、$p$ は成り立ちませんが、$mn = 16 > 16$ は成り立たないので、$r$ は成り立ちません。

$m=3, n = 6$ のとき、$p$は$m>4$または$n>4$なので$n>4$より成り立ち、$r$ は$mn = 18 > 16$ より成り立ちます。

$m = 2, n = 8$ のとき、$p$ は $m > 4$ または $n > 4$ なので $n > 4$ より成り立ち、$r$ は $mn = 16 > 16$は成り立ちません。

つまり、$r \Rightarrow p$ は成り立ちません。

したがって、$p$ は $r$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

よって、3 は ④ となります。

3. 最終的な答え

(1) 1: ③

(2) 2: ③, 3: ④