$r = (x, y, z)$、 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ とするとき、以下の発散 (divergence) を計算します。ただし、(2) では $r \neq 0$ とします。 (1) $\text{div } r$ (2) $\text{div } \frac{r}{r^3}$

1. 問題の内容

$r = (x, y, z)$、 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ とするとき、以下の発散 (divergence) を計算します。ただし、(2) では $r \neq 0$ とします。

(1) $\text{div } r$

(2) $\text{div } \frac{r}{r^3}$

2. 解き方の手順

(1) $\text{div } r$ について

$\text{div } r = \nabla \cdot r = \frac{\partial}{\partial x} x + \frac{\partial}{\partial y} y + \frac{\partial}{\partial z} z = 1 + 1 + 1 = 3$

(2) $\text{div } \frac{r}{r^3}$ について

$\frac{r}{r^3} = (xr^{-3}, yr^{-3}, zr^{-3})$

$\text{div } \frac{r}{r^3} = \frac{\partial}{\partial x} (xr^{-3}) + \frac{\partial}{\partial y} (yr^{-3}) + \frac{\partial}{\partial z} (zr^{-3})$

まず $\frac{\partial}{\partial x} (xr^{-3})$ を計算します。

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-1/2} (2x) = \frac{x}{r}$

$\frac{\partial}{\partial x} (xr^{-3}) = r^{-3} + x (-3) r^{-4} \frac{\partial r}{\partial x} = r^{-3} - 3xr^{-4} \frac{x}{r} = r^{-3} - 3x^2 r^{-5}$

同様に、

$\frac{\partial}{\partial y} (yr^{-3}) = r^{-3} - 3y^2 r^{-5}$

$\frac{\partial}{\partial z} (zr^{-3}) = r^{-3} - 3z^2 r^{-5}$

したがって、

$\text{div } \frac{r}{r^3} = (r^{-3} - 3x^2 r^{-5}) + (r^{-3} - 3y^2 r^{-5}) + (r^{-3} - 3z^2 r^{-5}) = 3r^{-3} - 3(x^2 + y^2 + z^2) r^{-5} = 3r^{-3} - 3r^2 r^{-5} = 3r^{-3} - 3r^{-3} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\text{div } r = 3$

(2) $\text{div } \frac{r}{r^3} = 0$