与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = 2xy + x$ の一般解を、定数変化法を用いて求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = 2xy + x$ の一般解を、定数変化法を用いて求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を $\frac{dy}{dx} - 2xy = x$ と変形する。

これは線形微分方程式なので、まず同次方程式 $\frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ を解く。

この同次方程式は変数分離形で解くことができる。

$\frac{dy}{y} = 2x dx$

両辺を積分して、

$\int \frac{dy}{y} = \int 2x dx$

$\ln |y| = x^2 + C_1$

$y = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1}e^{x^2} = Ce^{x^2}$ (ここで $C = e^{C_1}$)

したがって、同次方程式の一般解は $y = Ce^{x^2}$ である。

次に、定数変化法を用いて、与えられた非同次方程式の一般解を求める。

$y = C(x)e^{x^2}$ と仮定する。これを元の微分方程式に代入する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dC}{dx}e^{x^2} + C(x)e^{x^2}(2x)$

これを元の微分方程式に代入すると、

$\frac{dC}{dx}e^{x^2} + 2xC(x)e^{x^2} - 2x(C(x)e^{x^2}) = x$

$\frac{dC}{dx}e^{x^2} = x$

$\frac{dC}{dx} = xe^{-x^2}$

両辺を積分して、

$C(x) = \int xe^{-x^2} dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C_2$

したがって、

$y = (-\frac{1}{2}e^{-x^2} + C_2)e^{x^2} = -\frac{1}{2} + C_2e^{x^2}$

$C_2$を改めて$C$とおくと、

$y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2}$