与えられた3つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{-x^2+4x}{x+3}$ (2) $\lim_{x \to -1} \frac{x}{|x+1|}$ (3) $\lim_{x \to -0} 2^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{-x^2+4x}{x+3}$

(2) $\lim_{x \to -1} \frac{x}{|x+1|}$

(3) $\lim_{x \to -0} 2^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{-x^2+4x}{x+3}$ を計算します。

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-x+4}{1+\frac{3}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-x+4}{1+\frac{3}{x}} = \frac{-\infty + 4}{1+0} = -\infty$

(2) $\lim_{x \to -1} \frac{x}{|x+1|}$ を計算します。

$x$ が $-1$ に近づくとき、$x+1$ は0に近づきます。$|x+1|$ は絶対値なので常に0以上です。

$x \to -1^{+}$ のとき、$x+1 > 0$ なので $|x+1| = x+1$ となり、

$\lim_{x \to -1^{+}} \frac{x}{x+1} = \frac{-1}{0^{+}} = -\infty$

$x \to -1^{-}$ のとき、$x+1 < 0$ なので $|x+1| = -(x+1)$ となり、

$\lim_{x \to -1^{-}} \frac{x}{-(x+1)} = \frac{x}{-x-1} = \frac{-1}{-(-1)-1} = \frac{-1}{-0^{-}} = \infty$

右からの極限と左からの極限が異なるので、この極限は存在しません。

(3) $\lim_{x \to -0} 2^{\frac{1}{x}}$ を計算します。

$x \to -0$ のとき、$\frac{1}{x} \to -\infty$ となります。

$\lim_{x \to -0} 2^{\frac{1}{x}} = 2^{-\infty} = \frac{1}{2^{\infty}} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-\infty$

(2) 極限は存在しない

(3) 0