ある企業の株価収益率 $X$ は平均 $\mu = 6\%$, 標準偏差 $\sigma = 20\%$ の正規分布 $N(6, 20^2)$ に従うとする。 無作為に $n = 8$ 社を選び出した時の株価収益率の標本平均 $\bar{X}$ について、以下の問いに答える。 (1) 8社の株価収益率の標本平均 $\bar{X}$ が従う分布を求めよ。 (2) 8社の株価収益率の標本平均 $\bar{X}$ がプラスになる確率を求めよ。 (3) 8社の株価収益率の標本平均 $\bar{X}$ が3%以上15%以下となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

ある企業の株価収益率 $X$ は平均 $\mu = 6\%$, 標準偏差 $\sigma = 20\%$ の正規分布 $N(6, 20^2)$ に従うとする。

無作為に $n = 8$ 社を選び出した時の株価収益率の標本平均 $\bar{X}$ について、以下の問いに答える。

(1) 8社の株価収益率の標本平均 $\bar{X}$ が従う分布を求めよ。

(2) 8社の株価収益率の標本平均 $\bar{X}$ がプラスになる確率を求めよ。

(3) 8社の株価収益率の標本平均 $\bar{X}$ が3%以上15%以下となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均の分布について

母集団が正規分布に従うとき、標本平均$\bar{X}$も正規分布に従い、その平均は母平均に等しく、分散は母分散を標本サイズで割ったものとなる。

つまり、$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$である。

(2) 確率の計算について

標準正規分布表を用いて確率を計算するために、$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ という標準化を行う。この$Z$は標準正規分布$N(0,1)$に従う。

(1)

標本平均 $\bar{X}$ の従う分布は、$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ である。

$\mu = 6$, $\sigma = 20$, $n = 8$ を代入すると、

$\bar{X} \sim N(6, \frac{20^2}{8}) = N(6, \frac{400}{8}) = N(6, 50)$.

(2)

$\bar{X}$ がプラスになる確率、つまり $P(\bar{X} > 0)$ を求める。

標準化を行うと、$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 6}{20/\sqrt{8}}$

$\bar{X} > 0$ のとき、$Z > \frac{0 - 6}{20/\sqrt{8}} = \frac{-6\sqrt{8}}{20} = \frac{-3\sqrt{8}}{10} = -\frac{3 \cdot 2\sqrt{2}}{10} = -\frac{3\sqrt{2}}{5} \approx -\frac{3 \cdot 1.414}{5} \approx -0.8484$

$P(\bar{X} > 0) = P(Z > -0.8484) = 1 - P(Z < -0.8484) = P(Z < 0.8484)$

標準正規分布表より、$P(Z < 0.85) \approx 0.8023$

(3)

$\bar{X}$ が3%以上15%以下となる確率、つまり $P(3 \le \bar{X} \le 15)$ を求める。

$\bar{X} = 3$ のとき、$Z = \frac{3 - 6}{20/\sqrt{8}} = \frac{-3\sqrt{8}}{20} = -\frac{3 \cdot 2\sqrt{2}}{20} = -\frac{3\sqrt{2}}{10} \approx -\frac{3 \cdot 1.414}{10} \approx -0.4242$

$\bar{X} = 15$ のとき、$Z = \frac{15 - 6}{20/\sqrt{8}} = \frac{9\sqrt{8}}{20} = \frac{9 \cdot 2\sqrt{2}}{20} = \frac{9\sqrt{2}}{10} \approx \frac{9 \cdot 1.414}{10} \approx 1.2726$

$P(3 \le \bar{X} \le 15) = P(-0.4242 \le Z \le 1.2726) = P(Z \le 1.2726) - P(Z < -0.4242)$

$= P(Z \le 1.2726) - (1 - P(Z \le 0.4242)) = P(Z \le 1.2726) + P(Z \le 0.4242) - 1$

標準正規分布表より、$P(Z \le 1.27) \approx 0.8980$, $P(Z \le 0.42) \approx 0.6628$

$P(3 \le \bar{X} \le 15) \approx 0.8980 + 0.6628 - 1 = 1.5608 - 1 = 0.5608$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{X} \sim N(6, 50)$

(2) $P(\bar{X} > 0) \approx 0.8023$

(3) $P(3 \le \bar{X} \le 15) \approx 0.5608$