与えられた関数 $f(x) = e^{2x-1}$ と $g(x) = -\frac{1}{2} \log x$ に対して、以下の合成関数と逆関数を求め、定義域を明記する。 (1) $f \circ g$ (2) $g \circ f$ (3) $f^{-1}$ (4) $g^{-1}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = e^{2x-1}$ と $g(x) = -\frac{1}{2} \log x$ に対して、以下の合成関数と逆関数を求め、定義域を明記する。

(1) $f \circ g$

(2) $g \circ f$

(3) $f^{-1}$

(4) $g^{-1}$

2. 解き方の手順

(1) $f \circ g$ について:

$f(g(x))$ を計算する。

$g(x) = -\frac{1}{2} \log x$ を $f(x)$ に代入する。

$f(g(x)) = f(-\frac{1}{2} \log x) = e^{2(-\frac{1}{2} \log x) - 1} = e^{-\log x - 1} = e^{\log x^{-1} - 1} = e^{\log x^{-1}} e^{-1} = \frac{1}{x} e^{-1} = \frac{1}{ex}$

定義域は、$g(x)$ の定義域が $x > 0$ なので、$f(g(x))$ の定義域も $x > 0$ となる。

(2) $g \circ f$ について:

$g(f(x))$ を計算する。

$f(x) = e^{2x-1}$ を $g(x)$ に代入する。

$g(f(x)) = g(e^{2x-1}) = -\frac{1}{2} \log (e^{2x-1}) = -\frac{1}{2} (2x-1) = -x + \frac{1}{2}$

定義域は、$f(x)$ の定義域はすべての実数なので、問題は $g(e^{2x-1})$ が定義できるか。$e^{2x-1}$ は常に正なので、定義域はすべての実数となる。

(3) $f^{-1}$ について:

$y = f(x) = e^{2x-1}$ とおく。

$x$ について解く。

$\log y = 2x-1$

$2x = \log y + 1$

$x = \frac{\log y + 1}{2}$

$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = \frac{\log x + 1}{2}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{\log x + 1}{2}$

定義域は、$x > 0$。

(4) $g^{-1}$ について:

$y = g(x) = -\frac{1}{2} \log x$ とおく。

$x$ について解く。

$-2y = \log x$

$x = e^{-2y}$

$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = e^{-2x}$

したがって、$g^{-1}(x) = e^{-2x}$

定義域は、すべての実数。

3. 最終的な答え

(1) $f \circ g (x) = \frac{1}{ex}$ 、定義域: $x > 0$

(2) $g \circ f (x) = -x + \frac{1}{2}$、定義域: すべての実数

(3) $f^{-1}(x) = \frac{\log x + 1}{2}$、定義域: $x > 0$

(4) $g^{-1}(x) = e^{-2x}$、定義域: すべての実数