与えられた置換の積を計算します。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$ (4) $(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算します。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3)

$(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

(4)

$(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$

2. 解き方の手順

(1)

置換の積は、右側の置換から順番に適用していきます。

まず、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$を1に適用すると3になります。次に、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$を3に適用すると2になります。したがって、1は2に移ります。同様に計算すると、2は1に移り、3は3に移ることがわかります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

同様に、右側の置換から順番に適用していきます。

まず、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$を1に適用すると4になります。次に、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$を4に適用すると1になります。したがって、1は1に移ります。同様に計算すると、2は2に移り、3は4に移り、4は3に移ることがわかります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(3)

巡回置換の積を計算します。右から順番に適用します。

$(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

まず $(2 \ 4)$ を適用し、次に $(2 \ 3)$ を適用し、最後に $(1 \ 3)$ を適用します。

1 -> 1 -> 1 -> 3

2 -> 4 -> 4 -> 4

3 -> 3 -> 2 -> 2

4 -> 2 -> 3 -> 1

よって、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

(4)

$(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$

まず $(2 \ 3)$ を適用し、次に $(1 \ 2 \ 4 \ 3)$ を適用し、次に $(2 \ 3)$ を適用し、最後に $(1 \ 4)$ を適用します。

1 -> 1 -> 2 -> 2 -> 4

2 -> 3 -> 3 -> 2 -> 2

3 -> 2 -> 1 -> 1 -> 1

4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 1

よって、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(4)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$