与えられた式 $\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

この式は、分母に無理数を含むため、分母を有理化することを考えます。分母の $1 + \sqrt{x}$ に対して、$1 - \sqrt{x}$ を掛けると有理化できます。そのため、分子と分母に $1 - \sqrt{x}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}{(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})}$

分母を展開すると、

$(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x}) = 1 - (\sqrt{x})^2 = 1 - x$

分子を展開すると、

$\sqrt{x}(1-\sqrt{x}) = \sqrt{x} - x$

したがって、

$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - x}{1 - x}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{x} - x}{1 - x}$