$x+y+z = xy+yz+zx = 2\sqrt{2}+1$ かつ $xyz = 1$ を満たす実数 $x, y, z$ に対して、以下の値を求めよ。 (1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ (2) $x^2 + y^2 + z^2$ (3) $x^3 + y^3 + z^3$

1. 問題の内容

$x+y+z = xy+yz+zx = 2\sqrt{2}+1$ かつ $xyz = 1$ を満たす実数 $x, y, z$ に対して、以下の値を求めよ。

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$

(2) $x^2 + y^2 + z^2$

(3) $x^3 + y^3 + z^3$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ を求める。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy+yz+zx}{xyz}$ である。

条件より、$xy+yz+zx = 2\sqrt{2}+1$ かつ $xyz=1$ であるから、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2\sqrt{2}+1}{1} = 2\sqrt{2}+1$

(2) $x^2+y^2+z^2$ を求める。

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$ である。

したがって、$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$ である。

条件より、$x+y+z = 2\sqrt{2}+1$ かつ $xy+yz+zx = 2\sqrt{2}+1$ であるから、

$x^2+y^2+z^2 = (2\sqrt{2}+1)^2 - 2(2\sqrt{2}+1)$

$= (8+4\sqrt{2}+1) - (4\sqrt{2}+2)$

$= 9+4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 2 = 7$

(3) $x^3+y^3+z^3$ を求める。

$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx)$ である。

したがって、$x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) + 3xyz$ である。

条件より、$x+y+z = 2\sqrt{2}+1$, $xy+yz+zx = 2\sqrt{2}+1$, $xyz=1$ であり、$x^2+y^2+z^2 = 7$ であるから、

$x^3+y^3+z^3 = (2\sqrt{2}+1)(7 - (2\sqrt{2}+1)) + 3(1)$

$= (2\sqrt{2}+1)(7-2\sqrt{2}-1) + 3$

$= (2\sqrt{2}+1)(6-2\sqrt{2}) + 3$

$= 12\sqrt{2} - 8 + 6 - 2\sqrt{2} + 3$

$= 10\sqrt{2} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2}+1$

(2) $7$

(3) $10\sqrt{2}+1$