4次対称群 $S_4$ のすべての元を求め、それらを偶置換と奇置換に分類する問題です。

1. 問題の内容

4次対称群 $S_4$ のすべての元を求め、それらを偶置換と奇置換に分類する問題です。

2. 解き方の手順

$S_4$ は、集合 $\{1, 2, 3, 4\}$ からそれ自身への全単射全体の集合であり、写像の合成を演算とします。

$S_4$ の元の数は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ です。

$S_4$ の元を、巡回置換を用いて分類します。

(1) 恒等置換: $(1)$ これは偶置換です。

(2) 互換: $(ab)$ の形。これは奇置換です。

$(12), (13), (14), (23), (24), (34)$ の6個。

(3) 3-巡回置換: $(abc)$ の形。これは偶置換です。

$(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)$ の8個。

(4) 4-巡回置換: $(abcd)$ の形。これは奇置換です。

$(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)$

同様に考えると、 $(2341), (2314), (2431), (2413), (2134), (2143)$ なども考えられるが、表現が異なるだけであり、結局は $(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)$ と同じものになる。

したがって、$(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)$ の6個。

他の表現方法もあるが、ここでは6個とする。

(5) 2つの互換の積: $(ab)(cd)$ の形（$a, b, c, d$ はすべて異なる）。これは偶置換です。

$(12)(34), (13)(24), (14)(23)$ の3個。

合計で $1 + 6 + 8 + 6 + 3 = 24$ 個。

偶置換の数は $1 + 8 + 3 = 12$ 個。

奇置換の数は $6 + 6 = 12$ 個。

3. 最終的な答え

$S_4$ の元は以下の通りです。

* 偶置換 (12個):

$(1)$, $(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)$, $(12)(34), (13)(24), (14)(23)$

* 奇置換 (12個):

$(12), (13), (14), (23), (24), (34)$, $(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)$

（注：巡回置換の表記方法は複数ある場合がありますが、ここで挙げたものは代表的なものです。）