関数 $y = ax + b$ において、定義域が $0 \le x \le 3$ のとき、値域が $1 \le y \le 4$ となるように、$a$ と $b$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ において、定義域が $0 \le x \le 3$ のとき、値域が $1 \le y \le 4$ となるように、$a$ と $b$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

この問題では、$a$ の正負によって場合分けをして考えます。

(i) $a > 0$ の場合

$x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x=0$ のときに最小値、 $x=3$ のときに最大値をとります。したがって、

$x = 0$ のとき $y = a \cdot 0 + b = b = 1$

$x = 3$ のとき $y = a \cdot 3 + b = 3a + b = 4$

$b = 1$ を $3a + b = 4$ に代入すると、

$3a + 1 = 4$

$3a = 3$

$a = 1$

よって、$a = 1$, $b = 1$ となります。

(ii) $a < 0$ の場合

$x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x=0$ のときに最大値、 $x=3$ のときに最小値をとります。したがって、

$x = 0$ のとき $y = a \cdot 0 + b = b = 4$

$x = 3$ のとき $y = a \cdot 3 + b = 3a + b = 1$

$b = 4$ を $3a + b = 1$ に代入すると、

$3a + 4 = 1$

$3a = -3$

$a = -1$

よって、$a = -1$, $b = 4$ となります。

(iii) $a=0$の場合

$y = ax+b = 0x+b = b$

よって、$1 \le b \le 4$　となり、$y$の値は$1$から$4$の間の値を取ります。

しかし、この場合は値域が１つの値$b$になるので、$1 \le y \le 4$を満たしません。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = 1$

または

$a = -1$, $b = 4$