$n$ 変数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ の多項式 $f(x_1, \dots, x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、$\sigma f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})$ と定義する。与えられた $\sigma$ と $f$ の組に対して、$\sigma f$ を求める。

1. 問題の内容

$n$ 変数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ の多項式 $f(x_1, \dots, x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、$\sigma f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})$ と定義する。与えられた $\sigma$ と $f$ の組に対して、$\sigma f$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sigma = (1\ 2), \ f = x_1 x_2 + 2x_2 + 3x_3$

$\sigma$ は 1 と 2 を入れ替える置換なので、$\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 3$ である。

したがって、

$\sigma f = f(x_2, x_1, x_3) = x_2 x_1 + 2x_1 + 3x_3 = x_1 x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma = (1\ 2\ 3), \ f = x_1 x_2 + 2x_2 + 3x_3$

$\sigma$ は 1 を 2 に、2 を 3 に、3 を 1 に移す置換なので、$\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 1$ である。

したがって、

$\sigma f = f(x_2, x_3, x_1) = x_2 x_3 + 2x_3 + 3x_1 = 3x_1 + x_2 x_3 + 2x_3$

(3) $\sigma = (2\ 3), \ f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

$\sigma$ は 2 と 3 を入れ替える置換なので、$\sigma(1) = 1, \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 2$ である。

したがって、

$\sigma f = f(x_1, x_3, x_2) = (x_1 - x_3)(x_1 - x_2)(x_3 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(-(x_2 - x_3)) = - (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = -f$

(4) $\sigma = (1\ 2\ 3), \ f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

$\sigma$ は 1 を 2 に、2 を 3 に、3 を 1 に移す置換なので、$\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 1$ である。

したがって、

$\sigma f = f(x_2, x_3, x_1) = (x_2 - x_3)(x_2 - x_1)(x_3 - x_1) = (x_2 - x_3)(-(x_1 - x_2))(-(x_1 - x_3)) = (x_2 - x_3)(x_1 - x_2)(x_1 - x_3) = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = f$

3. 最終的な答え

(1) $\sigma f = x_1 x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma f = 3x_1 + x_2 x_3 + 2x_3$

(3) $\sigma f = - (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

(4) $\sigma f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$