6つの問題が与えられ、各問題に○か×で答える。このとき、以下の確率と期待値を求める。 (1) ちょうど2問が正解となる確率 (2) 少なくとも3問が正解となる確率 (3) 正解する問題数の期待値

1. 問題の内容

6つの問題が与えられ、各問題に○か×で答える。このとき、以下の確率と期待値を求める。

(1) ちょうど2問が正解となる確率

(2) 少なくとも3問が正解となる確率

(3) 正解する問題数の期待値

2. 解き方の手順

各問題は○か×のいずれかで答えるため、正解する確率は $\frac{1}{2}$ である。これは二項分布に従う。

(1) ちょうど2問が正解となる確率

6問中2問が正解する確率は、二項分布の確率質量関数を用いて計算できる。

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P(X=2) = \binom{6}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-2}

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= \binom{6}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^6

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= \frac{6!}{2!4!} \left(\frac{1}{64}\right)

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= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{1}{64}

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= 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64}

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(2) 少なくとも3問が正解となる確率

少なくとも3問が正解となる確率は、3問, 4問, 5問, 6問が正解となる確率を足し合わせるか、1から0問, 1問, 2問が正解となる確率を引くことで計算できる。後者の方法で計算する。

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P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]

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P(X=0) = \binom{6}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}

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P(X=1) = \binom{6}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{6}{64}

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P(X=2) = \binom{6}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{15}{64}

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P(X \geq 3) = 1 - \left[ \frac{1}{64} + \frac{6}{64} + \frac{15}{64} \right]

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= 1 - \frac{22}{64}

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= \frac{64 - 22}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}

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(3) 正解する問題数の期待値

二項分布の期待値は $n \times p$ で計算できる。ここで、$n$ は試行回数 (問題数) であり、$p$ は成功確率 (正解する確率) である。

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E = n \times p = 6 \times \frac{1}{2} = 3

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3. 最終的な答え

(1) ちょうど2問だけが正解となる確率: $\frac{15}{64}$

(2) 少なくとも3問が正解となる確率: $\frac{21}{32}$

(3) 正解する問題数の期待値: 3