1つのサイコロを6回続けて投げるとき、以下のそれぞれの確率を求めます。 (1) 1回目と2回目にだけ3の倍数の目が出る。 (2) 6回中、3の倍数の目がちょうど2回だけ出る。 (3) 1回目と2回目は1の目が出て、3,4,5,6回目に偶数の目が出る。 (4) 6回中、1の目が2回、偶数の目が4回出る。 (5) 出た目が順に1, 2, 2, 3, 3, 3となる。 (6) 6回中、1の目が1回、2の目が2回、3の目が3回出る。

1. 問題の内容

1つのサイコロを6回続けて投げるとき、以下のそれぞれの確率を求めます。

(1) 1回目と2回目にだけ3の倍数の目が出る。

(2) 6回中、3の倍数の目がちょうど2回だけ出る。

(3) 1回目と2回目は1の目が出て、3,4,5,6回目に偶数の目が出る。

(4) 6回中、1の目が2回、偶数の目が4回出る。

(5) 出た目が順に1, 2, 2, 3, 3, 3となる。

(6) 6回中、1の目が1回、2の目が2回、3の目が3回出る。

2. 解き方の手順

(1)

サイコロの目が3の倍数になる確率は、$1/3$（3か6が出る）。それ以外の目が出る確率は、$2/3$。1回目と2回目だけ3の倍数が出る確率は、

$$(1/3) \times (1/3) \times (2/3) \times (2/3) \times (2/3) \times (2/3) = (1/9) \times (16/81) = 16/729$$

(2)

3の倍数の目が出る確率を$p=1/3$、そうでない確率を$q=2/3$とする。6回中ちょうど2回3の倍数の目が出る確率は、二項分布より、

$${}_6 C_2 \times (1/3)^2 \times (2/3)^4 = 15 \times (1/9) \times (16/81) = 240/729 = 80/243$$

(3)

1回目と2回目に1の目が出る確率はそれぞれ$1/6$。3,4,5,6回目に偶数の目が出る確率はそれぞれ$1/2$。よって、

$$(1/6) \times (1/6) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/36 \times 1/16 = 1/576$$

(4)

1の目が2回、偶数の目が4回出る確率。まず、どの2回が1の目かを決めるのが${}_6 C_2 = 15$通り。残りの4回は偶数なので、求める確率は

$${}_6 C_2 \times (1/6)^2 \times (1/2)^4 = 15 \times (1/36) \times (1/16) = 15/576 = 5/192$$

(5)

出た目が順に1, 2, 2, 3, 3, 3となる確率は、

$$(1/6)^6 = 1/46656$$

(6)

1の目が1回、2の目が2回、3の目が3回出る確率。

どの目がいつ出るかを考える。すべての並び方は、多項定理より、

$$\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{720}{1 \times 2 \times 6} = 60$$

それぞれの目が出る確率は$1/6$なので、

$$60 \times (1/6)^6 = 60/46656 = 5/3888$$

3. 最終的な答え

(1) 16/729

(2) 80/243

(3) 1/576

(4) 5/192

(5) 1/46656

(6) 5/3888