2次不等式 $-x^2 + 2kx + 2k - 8 \le 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような定数 $k$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $-x^2 + 2kx + 2k - 8 \le 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような定数 $k$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $-x^2 + 2kx + 2k - 8 \le 0$ を変形します。

両辺に -1 を掛けて、

$x^2 - 2kx - 2k + 8 \ge 0$

とします。

この不等式がすべての実数 $x$ で成り立つためには、2次関数 $f(x) = x^2 - 2kx - 2k + 8$ のグラフが $x$ 軸に接するか、または $x$ 軸よりも上にある必要があります。

つまり、$f(x) = 0$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ を満たす必要があります。

$D = (-2k)^2 - 4(1)(-2k + 8) = 4k^2 + 8k - 32$

$D \le 0$ より、

$4k^2 + 8k - 32 \le 0$

両辺を 4 で割って、

$k^2 + 2k - 8 \le 0$

$(k + 4)(k - 2) \le 0$

したがって、$-4 \le k \le 2$

3. 最終的な答え

$-4 \le k \le 2$