(1) $a$ が正の数で $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ を満たしているとき、$\frac{a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}}{a^2+a^{-2}-2}$ の値を求める。 (2) $\log_3 7 = a$, $\log_4 7 = b$ とするとき、$\log_{12} 7$ を $a$, $b$ を用いて表す。 (3) $x = \log_5 50 + \log_{25} 400 - 3$ のとき、$\sqrt[x]{5}$ の値を求める。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) $a$ が正の数で $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ を満たしているとき、$\frac{a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}}{a^2+a^{-2}-2}$ の値を求める。

(2) $\log_3 7 = a$, $\log_4 7 = b$ とするとき、$\log_{12} 7$ を $a$, $b$ を用いて表す。

(3) $x = \log_5 50 + \log_{25} 400 - 3$ のとき、$\sqrt[x]{5}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}} = 3$ を利用して、$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$ と $a^2 + a^{-2}$ を求める。

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = a + 2 + a^{-1} = 9$

$a + a^{-1} = 7$

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{2}} + 3a^{\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{1}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 27$

$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 3(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) = 27$

$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 3(3) = 27$

$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 18$

$(a + a^{-1})^2 = a^2 + 2 + a^{-2} = 49$

$a^2 + a^{-2} = 47$

したがって、

$\frac{a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}}{a^2+a^{-2}-2} = \frac{18}{47-2} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}$

(2)

$\log_3 7 = a$, $\log_4 7 = b$ より、$\frac{\log 7}{\log 3} = a$, $\frac{\log 7}{\log 4} = b$

$\log 3 = \frac{\log 7}{a}$, $\log 4 = \frac{\log 7}{b}$

$\log_{12} 7 = \frac{\log 7}{\log 12} = \frac{\log 7}{\log (3 \cdot 4)} = \frac{\log 7}{\log 3 + \log 4} = \frac{\log 7}{\frac{\log 7}{a} + \frac{\log 7}{b}}$

$\log_{12} 7 = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{ab}{a+b}$

(3)

$x = \log_5 50 + \log_{25} 400 - 3 = \log_5 (25 \cdot 2) + \log_{5^2} (25 \cdot 16) - 3 = \log_5 25 + \log_5 2 + \frac{1}{2} (\log_5 25 + \log_5 16) - 3$

$x = 2 + \log_5 2 + \frac{1}{2} (2 + \log_5 2^4) - 3 = 2 + \log_5 2 + 1 + 2\log_5 2 - 3 = 3\log_5 2$

$x = \log_5 2^3 = \log_5 8$

$\sqrt[x]{5} = 5^{\frac{1}{x}} = 5^{\frac{1}{\log_5 8}} = 5^{\log_8 5} = 5^{\frac{\log_5 5}{\log_5 8}} = 5^{\frac{1}{\log_5 8}}$

$5^{\log_8 5} = 8^{\log_8 5 \cdot \log_5 8} = 8^{\log_8 5^{\log_5 8}} = 8^{\log_8 8} = 8$

$\sqrt[x]{5} = 5^{1/x} = 5^{1/(\log_5 8)} = 5^{\log_8 5}$. 底の変換公式から$\log_8 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 8} = \frac{1}{\log_5 8}$. したがって，$5^{\log_8 5}$ は $5^{\frac{1}{\log_5 8}}$ と同じなので，$(\sqrt[x]{5}) = \sqrt[log_5 8]{5}$.

$x = 3\log_5 2 = \log_5 8$

$\sqrt[x]{5} = 5^{\frac{1}{x}} = 5^{\frac{1}{\log_5 8}} = 5^{\log_8 5}$

ここで，$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ を使うと、

$5^{\log_8 5} = 8^{\log_8 5 \log_5 5} = 8^{\log_5 5} = 8^1 = 8$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5}$

(2) $\frac{ab}{a+b}$

(3) $8$