数列 $\{a_n\}$ は等差数列、数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列であり、$a_1 = 1$, $b_1 = 3$, $a_2 + 2b_2 = 21$, $a_4 + 2b_4 = 169$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) 一般項 $a_n$, $b_n$ を求めよ。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列、数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列であり、$a_1 = 1$, $b_1 = 3$, $a_2 + 2b_2 = 21$, $a_4 + 2b_4 = 169$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) 一般項 $a_n$, $b_n$ を求めよ。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

数列 $\{a_n\}$ は等差数列なので、公差を $d$ とすると、

$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)d$

数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列なので、公比を $r$ とすると、

$b_n = b_1 r^{n-1} = 3r^{n-1}$

与えられた条件より、

$a_2 + 2b_2 = 1 + d + 2(3r) = 1 + d + 6r = 21$

$a_4 + 2b_4 = 1 + 3d + 2(3r^3) = 1 + 3d + 6r^3 = 169$

よって、

$d + 6r = 20$

$3d + 6r^3 = 168$

$d = 20 - 6r$ を $3d + 6r^3 = 168$ に代入すると、

$3(20 - 6r) + 6r^3 = 168$

$60 - 18r + 6r^3 = 168$

$6r^3 - 18r - 108 = 0$

$r^3 - 3r - 18 = 0$

$(r - 3)(r^2 + 3r + 6) = 0$

$r^2 + 3r + 6 = 0$ は実数解を持たないため、$r = 3$

$d = 20 - 6r = 20 - 6(3) = 20 - 18 = 2$

したがって、$a_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$、$b_n = 3(3^{n-1}) = 3^n$

(2)

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{3^k} = 2\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{3^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

$T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{3^k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + ... + \frac{n}{3^n}$

$\frac{1}{3} T_n = \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + ... + \frac{n}{3^{n+1}}$

$T_n - \frac{1}{3} T_n = \frac{2}{3} T_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^n} - \frac{n}{3^{n+1}}$

$\frac{2}{3} T_n = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{n}{3^{n+1}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} - \frac{n}{3^{n+1}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^{n+1}}$

$T_n = \frac{3}{2} (\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^{n+1}}) = \frac{3}{4} (1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3n}{2 \cdot 3^{n+1}} = \frac{3}{4} - \frac{3}{4 \cdot 3^n} - \frac{n}{2 \cdot 3^n} = \frac{3}{4} - \frac{3+2n}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = 2T_n - \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) = 2(\frac{3}{4} - \frac{3+2n}{4 \cdot 3^n}) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3^n} = \frac{3}{2} - \frac{3+2n}{2 \cdot 3^n} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3^n} = 1 - \frac{2+2n}{2 \cdot 3^n} = 1 - \frac{1+n}{3^n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n - 1$, $b_n = 3^n$

(2) $S_n = 1 - \frac{n+1}{3^n}$