ある果物を500個収穫したところ、45個が成育不良だった。この結果から、全体の不良率 $p$ について、正規分布で近似して、信頼係数95%の信頼区間を求める。信頼限界の値は小数第4位を四捨五入すること。

1. 問題の内容

ある果物を500個収穫したところ、45個が成育不良だった。この結果から、全体の不良率 $p$ について、正規分布で近似して、信頼係数95%の信頼区間を求める。信頼限界の値は小数第4位を四捨五入すること。

2. 解き方の手順

まず、標本不良率 $\hat{p}$ を計算します。

$$\hat{p} = \frac{45}{500} = 0.09$$

次に、信頼区間を求めるための標準誤差を計算します。標準誤差は以下の式で与えられます。

$$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

ここで、$n$ は標本サイズ（この場合は500）です。

$$SE = \sqrt{\frac{0.09(1-0.09)}{500}} = \sqrt{\frac{0.09 \times 0.91}{500}} = \sqrt{\frac{0.0819}{500}} = \sqrt{0.0001638} \approx 0.0128$$

信頼係数95%に対応するz値を求めます。通常、95%信頼区間のz値は1.96です。

信頼区間の上限と下限を計算します。

上限：$\hat{p} + z \times SE$

下限：$\hat{p} - z \times SE$

上限：$0.09 + 1.96 \times 0.0128 = 0.09 + 0.025088 = 0.115088$

下限：$0.09 - 1.96 \times 0.0128 = 0.09 - 0.025088 = 0.064912$

小数第4位を四捨五入します。

上限：0.1151

下限：0.0649

3. 最終的な答え

信頼区間は [0.0649, 0.1151] です。