問題は、任意のベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$ に対して $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ が成り立つという命題が偽であることを示すために、反例を挙げることです。

1. 問題の内容

問題は、任意のベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$ に対して $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ が成り立つという命題が偽であることを示すために、反例を挙げることです。

2. 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ を具体的に設定し、$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ と $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ をそれぞれ計算します。もし、これらが異なるベクトルであれば、それは反例となります。

反例として、以下のようなベクトルを考えます。

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

まず、左辺 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ を計算します。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

次に、右辺 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ を計算します。

$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ は異なるベクトルなので、これは反例となっています。

3. 最終的な答え

反例：

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ のとき、

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

となり、 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} \neq \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ である。